[論文レビュー] Topological terms and the global symplectic geometry of the phase space in string theory

R. Cartas-Fuentevilla|ArXiv.org|Apr 1, 2004

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 7被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、ストリングの世界面の内・外の曲率スカラーという位相的項が、古典的運動に影響を及ぼさない純粋な発散項であるにもかかわらず、ストリング理論における位相空間のグローバルなシンプレクティック幾何に非自明に寄与することを示している。変分原理における純粋な発散項の引数としてシンプレクティックポテンシャルを特定することで、著者らは、これら項が共変的かつゲージ不変なシンプレクティック構造を生成することを示し、 canonical 形式における位相的項の隠れた幾何的役割を明らかにした。

ABSTRACT

Using an imbedding supported background tensor approach for the differential geometry of an imbedded surface in an arbitrary background, we show that the topological terms associated with the inner and outer curvature scalars of the string worldsheet, have a dramatic effect on the global symplectic geometry of the phase space of the theory. By identifying the global symplectic potential of each Lagrangian term in the string action as the argument of the corresponding pure divergence term in a variational principle, we show that those topological terms contribute explicitly to the symplectic potential of any action describing strings, without modifying the string dynamics and the phase space itself. The variation (the exterior derivative on the phase space) of the symplectic potential generates the integral kernel of a covariant and gauge invariant symplectic structure for the theory, changing thus the global symplectic geometry of the phase space. Similar results for non-Abelian gauge theories and General Relativity are briefly discussed

研究の動機と目的

• ストリング理論の位相空間における位相的項のグローバル幾何的意義を調査すること、特に世界面の曲率スカラーに起因するものについて。
• 純粋な発散項であるにもかかわらず、力学的に無関係であるにもかかわらず、位相空間のシンプレクティック構造に影響を及えるという顕著なパラドックスを解明すること。
• 位相的不変量とシンプレクティック幾何の間の関係を、ストリング理論の共変的 canonical 形式において確立すること。
• この分析を非アーベルゲージ理論および一般相対性理論に拡張し、より広範な場の理論における類似効果を示すこと。

提案手法

• p-ブレーンの高次元時空における微分幾何を記述するため、Carterの埋め込み支援型背景テンソル法を用いる。
• 各ラグランジュアン項のシンプレクティックポテンシャルを、変分原理における対応する純粋な発散項の引数として特定する。
• 共変位相空間における外微分計算を適用し、シンプレクティックポテンシャルの変動からシンプレクティック構造を導出する。
• シンプレクティックポテンシャルの外微分が、ゲージ不変かつ共変的なシンプレクティック形式の積分核を生成することを示す。
• ストリング世界面の内・外の曲率スカラーを位相的項として分析し、それぞれのシンプレクティックポテンシャルを導出する。
• 形式的体系をヤン・ミルズ理論および一般相対性理論に拡張し、位相的項がシンプレクティック構造に類似の寄与をすることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 純粋な発散項として力学的に無関係であるにもかかわらず、ストリング理論における位相空間のシンプレクティック幾何に寄与することができるのか、そのメカニズムは何か？
• RQ2 共変位相空間形式における変分原理における純粋な発散項の引数が果たす正確な幾何的役割は何か？
• RQ3 位相的項に付随するシンプレクティックポテンシャルを一貫して特定し、ゲージ不変なシンプレクティック構造を構築するために使用できるのか？
• RQ4 世界面のオイラー特性のような位相的不変量が、ストリング理論の canonical 形式にどの程度反映されるのか？
• RQ5 これらの結果は、非アーベルゲージ理論や一般相対性理論などの他の場の理論へどのように一般化できるか？

主な発見

• ストリング世界面の内・外の曲率スカラーのような位相的項は、古典的運動方程式に影響を及ぼさないが、位相空間のシンプレクティックポテンシャルに明示的に寄与する。
• シンプレクティックポテンシャルは、変分原理における純粋な発散項の引数として特定され、これは共変位相空間上の1形式である。
• このシンプレクティックポテンシャルの外微分が、共変的かつゲージ不変なシンプレクティック構造を生成し、結果として位相空間のグローバルなシンプレクティック幾何を変化させる。
• 力学的に無関係であるにもかかわらず、これらの位相的項は canonical 形式において非自明なグローバル役割を果たしており、経路積分におけるトポロジーの和算における役割と整合的である。
• 同様のメカニズムは、非アーベルゲージ理論および一般相対性理論に対しても適用可能であり、ポントリャーギン密度のような位相的項がシンプレクティック構造にシンプレクティックポテンシャルを通じて寄与する。
• 形式的体系は、作用における余分な完全発散項が、特にシンプレクティック形式において物理的に意味のある幾何的構造を位相空間上に生じうることを明らかにした。