[論文レビュー] Topology of singular algebraic varieties

Burt Totaro|ArXiv.org|Apr 21, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 26被引用数 25

ひとこと要約

本稿は、特異的かつ解析的空間へと交差ホモロジーと重みフィルトレーションといった不変量を拡張することで、特異代数的多様体の位相的理解を進める。特異点の解消と代数的K理論を用い、実および複素のフロップにおいて保存される特徴的数が同定され、Ochanineの楕円的生成関数がこのような不変量による向き付けられたボルディズムの像として現れることを示し、特異的実解析的多様体に対する一般化された生成関数の可能性を示唆する。

ABSTRACT

I will discuss recent progress by many people in the program of extending natural topological invariants from manifolds to singular spaces. Intersection homology theory and mixed Hodge theory are model examples of such invariants. The past 20 years have seen a series of new invariants, partly inspired by string theory, such as motivic integration and the elliptic genus of a singular variety. These theories are not defined in a topological way, but there are intriguing hints of their topological significance.

研究の動機と目的

• 滑らかでない特異的および解析的空間へと、交差ホモロジーと重みフィルトレーションといった位相的不変量を一般化すること。
• IH-小解消において不変な特徴的数、特に実および複素のフロップにおいて不変な特徴的数を特定すること。
• 特異的多様体の文脈において、楕円的生成関数やモチーフ的積分の位相的意義を調査すること。
• 非Witt特異点を持つ実解析的多様体上に、F2-ワイスマン交差ホモロジーのような新しい不変量を定義するための枠組みを確立すること。
• 代数的幾何の不変量とボルディズム理論を結びつけること、特にOchanine生成関数とその特異的状況における実現を経由して。

提案手法

• コンパクトなコホモロジーの重みフィルトレーションを定義するために、特異点の解消と立方体的ハイパーレゾリューションを用いる。
• GilletおよびSouléのK理論に基づく重みフィルトレーションの構成を、整数係数およびmod l係数コホモロジーに適用し、そのコンパクト化の選択に依存しないことを証明する。
• 正規交叉的除集合に関連するスペクトル系列を用いて、コンパクト化を伴う滑らかな多様体の重みフィルトレーションを定義する。
• GuillenおよびNavarro Aznarの幾何的証明を複素および実解析的多様体に適応し、K理論を回避する。
• 実および複素のフロップによるボルディズム環の商を分析し、不変な特徴的数を同定する。Stiefel-Whitney類およびPontrjagin類を用いる。
• 得られた商環を、特にOchanine楕円的生成関数との明示的同型写像を介して、Z[δ, 2γ, 2γ², ...] に結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n次元多様体の実フロップにおいて不変なStiefel-Whitney数は何か？
• RQ2 Ochanine楕円的生成関数を、特異点を持つコンパクトな向き付けられた実解析的多様体へと拡張できるか？
• RQ3 向き付けられた状況において、実および複素のフロップによるボルディズム環の構造は何か？
• RQ4 3重のノードのような非Witt特異点を持つ空間に対して、交差ホモロジーをF2係数へ一般化できるか？
• RQ5 特異的代数的幾何におけるモチーフ的積分および楕円的生成関数の位相的意義は何か？

主な発見

• 実フロップにおいて不変なStiefel-Whitney数のF2ベクトル空間の次元は、偶数nでは⌊n/2⌋ + 1、奇数nでは0であり、w1^i wn−i または w1^{n−2i} vi^2 で張られる。
• 未向きボルディズム環MO*の実フロップによる商環は、F2[RP², RP⁴, RP⁸, ...] / ((RP^{2^a})² = (RP²)^{2^a} for a ≥ 2) に同型である。
• 向き付けられたボルディズム環MSO*の、向き付けられた実および複素のフロップによる商環は、Z[δ, 2γ, 2γ², 2γ⁴, ...] に同型であり、CP²はδに、CP⁴は2γ + δ²にマッピングされる。
• この商環は、MSO*におけるOchanine楕円的生成関数の像と一致し、特異的実解析的多様体に対する一般化された生成関数の可能性を示唆する。
• 重みフィルトレーションを定義するのに用いられるスペクトル系列は、Qに限らず任意の係数環kに対してE2項以降で不変であることが判明し、特異的多様体に対する新たなコホモロジー的不変量を明らかにする。
• GilletおよびSouléのK理論と特異点の解消を用いることで、複素代数的多様体の整数係数コホモロジーにおける重みフィルトレーションは、Deligneの有理数重みフィルトレーションを拡張して、well-definedであることが示された。