[論文レビュー] Topos Analogues of the KMS State

Joseph Ben Geloun, Cecilia Flori|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2012

Advanced Operator Algebra Research参考文献 56被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、量子統計力学におけるKMS状態の性質を模倣する真理対象をトポス枠組み内で定義することにより、KMS状態のトポス的類似物を導入する。量子状態から導かれる測度を用い、確率閾値パラメータを含むようにトポスを拡張することで、外部的および内部的両方の意味で、KMS状態とトポス的KMS条件を満たす真理対象の類の間の一対一対応を確立する。

ABSTRACT

We identify the analogues of KMS state in topos theory. Topos KMS states can be viewed as classes of truth objects associated with a measure μ^ρ(in one-to-one correspondence with an original KMS state ρ) which satisfies topos condition analogues to the ordinary KMS conditions. Topos KMS states can be defined both externally or internally according to whether the automorphism group of geometric morphisms acts externally on the topos structure, or the automorphism group is an object in the topos itself, in which case, it acts internally. We illustrate the formalism by a simple example on the Hilbert space $\Cl^3$.

研究の動機と目的

• KMS状態—量子統計力学において中心的な役割を果たすもの—をトポス理論の枠組みで再定式化し、測定を必要としないネオ現実的量子理論を提供すること。
• 元のKMS状態から導かれる測度に関連する真理対象の類として、トポス的KMS状態を定義すること。
• 自己同型群がトポス上またはその内部で作用する形で、外部的および内部的両方のKMS条件の定式化を確立すること。
• ヒルベルト空間 ℂ³ 上での具体的な例を通じて形式主義を示し、真理対象と測度の明示的構成を提示すること。
• 状態を真理値が主となるトポスに埋め込むことで、量子確率と論理を統合し、確率が論理的に導かれるようにすること。

提案手法

• 与えられたKMS状態 ρ から、状態と測度の間の一対一対応を用いて、トポスの状態空間上に測度 μ^ρ を定義する。
• トポス Sh(𝒱(𝒩) × (0,1)_L) 内に真理対象を構成し、閾値 r ∈ [0,1] によってインデックス付けられた、閉じた部分対象の族として表す。ここで、すべての部分文脈 V′ ⊆ V に対して ρ(𝐏_𝐒_𝐕′) ≥ r を満たす。
• 自己同型群がトポス構造に作用することで、外部的KMS条件を実装し、測度 μ^ρ を保存する。
• 自己同型群をトポス内の対象として扱い、真理対象上での内部作用を定義することで、内部的KMS条件を実装する。
• Gleasonの定理を用いて、μ^ρ から導かれる有限加法的測度 m が、一意に量子状態 ρ_μ に対応することを保証する。
• トポスを Sh(𝒱(𝒩)) から Sh(𝒱(𝒩) × (0,1)_L) に拡張することで、真理対象の族 {𝕋^ρ,r} を、拡張されたトポス内に一つのグローバル対象として統合する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子統計力学におけるKMS状態は、真理対象と測度を用いてどのようにトポス理論の枠組みで再定式化できるか？
• RQ2 トポス的設定におけるKMS条件の外部的および内部的定式化とは何か。また、それらは自己同型群とどのように関係するか？
• RQ3 Sh(𝒱(𝒩) × (0,1)_L) 内での真理対象の構成は、測度との一対一対応を通じて、元のKMS状態をどのように回復するか？
• RQ4 パラメータ r ∈ [0,1] は真理対象の定義において果たす役割は何か。また、それによってトポス内の命題の論理構造はどのように影響を受けるか？
• RQ5 トポス的形式主義は、導出された測度と真理対象構造から、標準的KMS状態を再現できるか？

主な発見

• KMS状態 ρ とその状態空間上の測度 μ^ρ の間の一対一対応が確立され、μ^ρ が射影への有限加法的測度を誘導する。
• 真理対象 𝕋^ρ,r は、r₁ ≤ r₂ ならば 𝕋^ρ,r₂ ⊆ 𝕋^ρ,r₁ を満たすように定義され、真の条件が厳しくなるにつれて包含関係が成り立つ。
• 拡張されたトポス Sh(𝒱(𝒩) × (0,1)_L) を用いることで、真理対象の族 {𝕋^ρ,r} が一つのグローバル対象に統合され、すべての情報を保持する。
• 測度 m は μ ↦ m ↦ ρ_μ の鎖を通じて、Gleasonの定理を用いて、元の測度 μ から導かれた量子状態 ρ_μ が回復される。
• 外部的KMS条件は、自己同型群がトポスに作用し、測度 μ^ρ を保存する場合に満たされる。一方、内部的条件は、群がトポス内の対象として扱われる場合に生じる。
• ℂ³ の例では、形式主義が明示的に真理対象と測度を構成し、トポス的KMS状態の構成の整合性と具体性を示している。