[論文レビュー] Torsional Newton-Cartan Geometry and the Schrödinger Algebra

Eric Bergshoeff, Jelle Hartong+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 48被引用数 27

ひとこと要約

この論文は、臨界指数 $z$ を持つシュレーディンガー代数をゲージ化することで、$z=2$ リフシッツ時空の境界に内在するねじれのないねじれ付きニュートン＝カルタン（TTNC）幾何学が得られることを示している。中央電荷をシュテュッケルベルク対称性に昇格させ、特別な共形生成子を導入することで、形式的枠組みはスカラー場 $\chi$ を含むように拡張され、質量のあるベクトル場をもつ高次元のホログラフィー的設定で観察される境界幾何学と完全に一致する。

ABSTRACT

We show that by gauging the Schrödinger algebra with critical exponent $z$ and imposing suitable curvature constraints, that make diffeomorphisms equivalent to time and space translations, one obtains a geometric structure known as (twistless) torsional Newton-Cartan geometry (TTNC). This is a version of torsional Newton-Cartan geometry (TNC) in which the timelike vielbein $τ_μ$ must be hypersurface orthogonal. For $z=2$ this version of TTNC geometry is very closely related to the one appearing in holographic duals of $z=2$ Lifshitz space-times based on Einstein gravity coupled to massive vector fields in the bulk. For $z eq 2$ there is however an extra degree of freedom $b_0$ that does not appear in the holographic setup. We show that the result of the gauging procedure can be extended to include a Stückelberg scalar $χ$ that shifts under the particle number generator of the Schrödinger algebra, as well as an extra special conformal symmetry that allows one to gauge away $b_0$. The resulting version of TTNC geometry is the one that appears in the holographic setup. This shows that Schrödinger symmetries play a crucial role in holography for Lifshitz space-times and that in fact the entire boundary geometry is dictated by local Schrödinger invariance. Finally we show how to extend the formalism to generic torsional Newton-Cartan geometries by relaxing the hypersurface orthogonality condition for the timelike vielbein $τ_μ$.

研究の動機と目的

• z=2 リフシッツホログラフィーにおける境界対称性構造の幾何的起源を明確化すること。
• z \neq 2 の場合に、シュレーディンガー代数のゲージ化から得られる TTNC 幾何学とホログラフィー的境界幾何学との不一致を解消すること。
• 局所的シュレーディンガー不変性が、リフシッツホログラフィーにおける境界幾何学を完全に決定することを示すこと。
• シュテュッケルベルクスカラー $\chi$ と特別な共形対称性を導入することで、TTNC形式的枠組みを拡張し、ホログラフィー的設定に一致させること。
• 時間的ヴィーブラインの超曲面直交性条件を緩和することで、一般のねじれ付きニュートン＝カルタン幾何学への一般化を図ること。

提案手法

• 臨界指数 $z$ を持つシュレーディンガー代数をゲージ化し、ゲージ場と曲率制約を導出すること。
• ゲージ場を従属接続に還元する曲率制約を課すことにより、TTNC 幾何学が得られること。
• 中央電荷をシュテュッケルベルク対称性に昇格させるためにスカラー $\chi$ を導入し、ホログラフィー的設定と整合性を回復すること。
• 余分な自由度 $b_0$ を除去するために特別な共形対称性を追加すること。
• シュレーディンガー代数の構造定数から変換則と共変場強度を導出すること。
• $\tau_\mu$ における超曲面直交性条件を緩和することで、形式的枠組みを一般の TNC 幾何学に拡張すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 臨界指数 $z$ を持つシュレーディンガー代数をゲージ化すると、どのようにして $z=2$ リフシッツ時空の境界と一致する幾何的構造が得られるか？
• RQ2 $z \neq 2$ の場合に、標準的なゲージ化手順がホログラフィー的設定に存在しない余分な自由度 $b_0$ を生じる理由は何か？
• RQ3 ゲージ化されたシュレーディンガー代数とホログラフィー的境界幾何学との不一致は、どのように解消できるか？
• RQ4 シュテュッケルベルクスカラー $\chi$ は、ゲージ化手順とホログラフィー的境界条件の一致をどのように実現するか？
• RQ5 形式的枠組みは、ねじれのないねじれ付きニュートン＝カルタン幾何学を超えて、一般のねじれ構造を含むようにどのように一般化できるか？

主な発見

• 臨界指数 $z=2$ でシュレーディンガー代数をゲージ化すると、$z=2$ リフシッツ時空の境界幾何学と一致するねじれのないねじれ付きニュートン＝カルタン（TTNC）幾何学が得られる。
• $z \neq 2$ の場合、ゲージ化手順によりホログラフィー的設定に存在しない余分な自由度 $b_0$ が生じ、幾何的不一致を示している。
• スカラー $\chi$ を導入し、中央電荷をシュテュッケルベルク対称性に昇格させることで、$z \neq 2$ の場合の不一致が解消される。
• 特別な共形対称性を追加することで、ゲージ場 $f_\mu$ が消去され、$b_0$ が除去され、ホログラフィー的境界幾何学と完全に一致する。
• スカラー $\chi$ を含む拡張された TTNC 幾何学は、高次元に質量のあるベクトル場をもつ $z=2$ リフシッツ時空のホログラフィー双対において正確に実現されている。
• リフシッツホログラフィーの完全な境界幾何学が、局所的シュレーディンガー不変性によって決定されており、すべての構造がゲージ化手順から生じることを示した。