[論文レビュー] Towards a description of the double ramification hierarchy for Witten's $r$-spin class

Alexandr Buryak, Jérémy Guéré|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 52被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、Wittenの$r$-スピン理論における二重ランク階層が、$r = 3,4,5$ において、新しい方法を用いてホッジ積分の公式を通じてハミルトニアンを計算することにより、Dubrovin–Zhang階層とミウラ同値であることを確立する。さらに、これらの値について、$r$-番目のゲルファンド–ディキーシステムの量子化を構成し、コhomological field theoryにおける可積分系に関する最近の結果を拡張する。

ABSTRACT

The double ramification hierarchy is a new integrable hierarchy of hamiltonian PDEs introduced recently by the first author. It is associated to an arbitrary given cohomological field theory. In this paper we study the double ramification hierarchy associated to the cohomological field theory formed by Witten's $r$-spin classes. Using the formula for the product of the top Chern class of the Hodge bundle with Witten's class, found by the second author, we present an effective method for a computation of the double ramification hierarchy. We do explicit computations for $r=3,4,5$ and prove that the double ramification hierarchy is Miura equivalent to the corresponding Dubrovin--Zhang hierarchy. As an application, this result together with a recent work of the first author with Paolo Rossi gives a quantization of the $r$-th Gelfand--Dickey hierarchy for $r=3,4,5$.

研究の動機と目的

• Wittenの$r$-スピンクラスの二重ランク階層を、モジュライ空間上の交点数を用いて記述すること。
• ホッジ積分の公式を用いて、$r=3,4,5$ に対して二重ランク階層のハミルトニアンを明示的に計算すること。
• $r=3,4,5$ に対して、二重ランク階層とDubrovin–Zhang階層のミウラ同値性を確立すること。
• 二重ランク階層の枠組みを用いて、$r=3,4,5$ に対する$r$-番目のゲルファンド–ディキーシステムの量子化を提供すること。
• 非標準的なポアソン構造が生じる$r$-スピン理論における量子化の枠組みを拡張すること。

提案手法

• ホッジ bundle の最高チエーン類とWittenの$r$-スピンクラスの積の公式を用いて、交点数を計算する。
• 二重ランク階層の構成を、$\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上のDRサイクル、$\tilde{\rho}$-クラス、$\tilde{\theta}$-クラスの交点数を用いて行う。
• ミウラ変換を用いて、二重ランク階層とDubrovin–Zhang階層を関連付ける。
• 変形された交換関係を有するWeyl代数 $\mathfrak{W}_N[[\varepsilon]]$ を用いて、二重ランク階層の量子化を構成する。
• $r=4,5$ に対しては、$\varepsilon$-依存の交換関係を有する変形代数 $\widetilde{\mathfrak{W}}_N[[\varepsilon]]_{K^{\text{r-spin}}}$ を導入することで、量子化手順を修正する。
• ミウラ変換を用いて、量子化されたハミルトニアンを変形代数に引き戻し、Dubrovin–Zhang階層と整合性を持つようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $r=3,4,5$ に対して、$r$-スピン理論における二重ランク階層は、Dubrovin–Zhang階層とミウラ同値か？
• RQ2 Wittenの$r$-スピンクラスを含むホッジ積分を用いて、二重ランク階層のハミルトニアンを効果的に計算できるか？
• RQ3 二重ランク階層の枠組みを用いて、$r=3,4,5$ に対する$r$-番目のゲルファンド–ディキーシステムをどのように量子化できるか？
• RQ4 ハミルトニアン構造が標準的ではない場合（$r=4,5$ の場合）、量子化手順にどのような修正が必要か？
• RQ5 非標準的な場合においても、ミウラ変換を用いて、量子化された二重ランク階層と量子化されたDubrovin–Zhang階層を関連付けることができるか？

主な発見

• $r=3,4,5$ に対して、$r$-スピン理論における二重ランク階層は、明示的計算と希釈方程式を用いて、Dubrovin–Zhang階層とミウラ同値であることが証明された。
• $r=3$ に対して、二重ランク階層のハミルトニアン $\overline{g}_{1,1}$ がホッジ積分の公式を用いて明示的に計算された。
• ハミルトニアンの量子化は、$\hbar$-変形された交換関係を有するWeyl代数 $\mathfrak{W}_N[[\varepsilon]]$ を用いて構成された。
• $r=4$ および $r=5$ に対しては、$\varepsilon$-依存の交換子を有する変形代数 $\widetilde{\mathfrak{W}}_N[[\varepsilon]]_{K^{\text{r-spin}}}$ を用いて量子化が達成された。
• ミウラ変換は、変形代数と標準的Weyl代数の間の同型を誘導し、Dubrovin–Zhang階層の整合的な量子化の構成を可能にした。
• 本結果により、$r=3,4,5$ に対する$r$-番目のゲルファンド–ディキーシステムの量子化が得られ、以前の$r=3$ の場合の結果を拡張した。