[論文レビュー] Towards a human proof of Gessel's conjecture

Arvind Ayyer|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2009

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、4文字（1, 2, ̄1, ̄2）からなるゲゼル語の形式的言語を用いて、四分円格子上の歩みに関するゲゼルの予想を再定式化し、ダックパスに接続し、完全ゲゼル語の数の形式的表現を提示する。主な結果は、制限されたクラスのゲゼル語に対して明示的な閉形式の公式を導出したことである。この公式は、ロビンズが予想した巡回n角形の面積の二乗の多項式の次数と一致するが、それに対してはまだ明示的な双対写像が知られていないため、深く不思議な組合せ的関係が存在する可能性を示唆している。

ABSTRACT

We interpret walks in the first quadrant with steps {(1,1),(1,0),(-1,0), (-1,-1)} as a generalization of Dyck words with two sets of letters. Using this language, we give a formal expression for the number of walks in the steps above beginning and ending at the origin. We give an explicit formula for a restricted class of such words using a correspondance between such words and Dyck paths. This explicit formula is exactly the same as that for the degree of the polynomial satisfied by the square of the area of cyclic n-gons conjectured by Dave Robbins although the connection is a mystery. Finally we remark on another combinatorial problem in which the same formula appears and argue for the existence of a bijection.

研究の動機と目的

• 2次元の第一象限における格子歩みに関するゲゼルの予想を、4文字アルファベットを用いた形式的言語理論を用いて再定式化すること。
• ダックパスの対応を用いて、各文字iとその補数̄iの出現回数が等しい完全ゲゼル語の数の形式的表現を確立すること。
• 1がその補数̄1より前に現れる制限されたクラスの完全ゲゼル語に対して、閉形式の公式を導出すること。
• 導出された公式とロビンズが予想した巡回n角形の面積の二乗の多項式の次数との間の驚くべき数的一致を探索すること。
• 符号付き整数和の多重集合と1組の文字を持つ完全ゲゼル語の集合との間に双対写像が存在するとの仮説を提示すること。

提案手法

• アルファベット{1, 2, ̄1, ̄2}を用い、各文字とその補数について累積的な不均衡が非負となるように、前綴条件を定義してゲゼル語を定義する。
• 各文字iがその補数̄iと同一回数だけ出現する語を完全ゲゼル語と定義する。
• 完全ゲゼル語と、(1,1)、(1,0)、(-1,0)、(-1,-1)のステップを持つ第一象限内の歩みとの間の形式的双対写像を確立する。
• ダックパスの技法を適用し、二重和を含む二項係数の形式的表現を導出し、そのような語の数を得る。
• 超幾何級数の和の技法を用いて、1が̄1より前に現れる制限されたクラスの形式的表現を、閉形式の公式に簡略化する。
• 整数方程式の±符号パターンを表す2進語の多重集合を分析し、n₁(w)とn₁₀(w)に基づく重み関数を割り当て、ゲゼル語の数と数的同等性を観察する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特定のステップを持つ第一象限内の歩みの数に関するゲゼルの予想を、形式的言語理論とダックパスの類似性を用いて再定式化できるか？
• RQ2 1がその補数̄1より前に現れる完全ゲゼル語の数に対する閉形式の式があるか？
• RQ3 この制限されたクラスのゲゼル語の数の公式が、ロビンズが予想した巡回n角形の面積の二乗の多項式の次数と正確に一致するのはなぜか？
• RQ4 符号付き整数和の多重集合と1組の文字を持つ完全ゲゼル語の集合との間に組合せ的双対写像が存在するか？
• RQ5 制限されたクラスに用いた手法を一般化することで、ゲゼルの元の予想のための人間が読める証明を得られるか？

主な発見

• 1が̄1より前に現れる長さ2nの完全ゲゼル語の数は、OEISの列A000531と一致する閉形式の公式で与えられ、これは巡回n角形の16K²の多項式の予想される次数に一致する。
• 制限されたクラスのゲゼル語の公式は、ダブ・ロビンズが予想した巡回n角形の面積の二乗の多項式の次数の公式と同一である。
• ゲゼル数の数値三角形の左端と右端の項はカタラン数に一致し、ダックパスの数としての解釈が裏付けられる。
• 1の出現回数と10の部分語の数に基づく重み関数を割り当てた、符号パターンの多重集合の基数は、1組の文字を持つ完全ゲゼル語の数と一致する。
• n=4の符号和の表における対角パターンから、固定されたn₁と奇数の和に対して寄与する語の数が、k ≤ n−1となるC(2n, k)の二項係数に対応することが判明し、より深い組合せ的構造を示唆する。
• 数的一致は確認されたが、2つの組合せ的問題の間には明示的な双対写像が見つからず、その関係は依然として不思議で説明不能のままである。