[論文レビュー] Towards a $p$-adic Langlands programme

Laurent Berger, Christophe Breuil|ArXiv.org|Aug 30, 2004

Advanced Algebra and Geometry参考文献 24被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$(\varphi,\Gamma)$-モジュールとワッチモジュールを用いて、$p$-進ガロア表現の2次元の一般的でクリスタリンな表現から、${\rm GL}_2({\bb Q}_p)$に連続的な作用をもつ$p$-進バナッハ空間を構成することにより、$p$-進ラングランズ計画を進展させる。主な結果は、このような表現と、既約なバナッハ空間表現との間の対応を確立し、ワッチモジュールの連続性によって、$p$で割った剰余に関する明示的な制御を可能にする。

ABSTRACT

These are the notes for an eponymous course given by the authors at the summer school on p-adic arithmetic geometry in Hangzhou.

研究の動機と目的

• $p$-進ガロア表現と${\rm GL}_2({\bb Q}_p)$の無限次元バナッハ空間表現との間の$p$-進ラングランズ対応を開始すること。
• モジュラー形式に由来する、2次元で一般的かつクリスタリンな、相異なるホッジ＝ターン重量を持つ表現に注目すること。
• 与えられたガロア表現$V$から、連続的な${\rm GL}_2({\bb Q}_p)$作用をもつ$p$-進バナッハ空間$\Pi(V)$を構成すること。
• $\Pi(V)$における局所解析的ベクトルを研究し、それらを$(\varphi,\Gamma)$-モジュールに関連付けること。
• $\Pi(V)^*$の$p$を法とする剰余が有限長であることを証明し、重要な場合において減少に関する予想を検証すること。

提案手法

• $p$-進ホッジ理論と$(\varphi,\Gamma)$-モジュールを用いて、$p$-進ガロア表現をパラメトライズすること。
• ${\bb Q}_p$上の整数環$\mathbb{Z}_p$に値をとる$p$-進バナッハ空間値の分布の空間の強い双対として、バナッハ空間$\Pi(V)$を構成すること。
• 自然な写像を介して、$\Pi(V)^*$を$(\varphi,\Gamma)$-モジュールの$\psi$-不変部分空間の逆極限と関連付けること。
• ワッチモジュールを用いてクリスタリン表現を記述し、関連する行列における$\Gamma_{{\bb Q}_p}$作用を制御すること。
• フロベニウス行列の小さな摂動に対して、逐次近似の議論を用いてワッチモジュールの構成の連続性を証明すること。
• 行列方程式$P\varphi(G) = G\gamma(P)$を用いて、$\mathbb{B}^{+}_{{\bb Q}_p}$上のモジュールにおける$\varphi$および$\gamma$の整合的な作用を定義すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般的でクリスタリンかつ2次元の$p$-進ガロア表現から、連続的な${\rm GL}_2({\bb Q}_p)$作用をもつ$p$-進バナッハ空間を構成できるか？
• RQ2 $\Pi(V)$における局所解析的ベクトルは、双対空間$\Pi(V)^*$の$(\varphi,\Gamma)$-モジュール構造とどのように関係しているか？
• RQ3 $\Pi(V)^*/p$の構造は何か？ そして、それが有限長である条件は何か？
• RQ4 クリスタリン表現に付随するワッチモジュールは、フロベニウス行列の小さな摂動に対して連続的に変形可能か？
• RQ5 $T/pT$が既約であるとき、$p$を法とする減少に関する予想は成立するか？

主な発見

• バナッハ空間$\Pi(V)$の構成は、緩和的分布の空間の強い双対を用いて行われ、連続的な${\rm GL}_2({\bb Q}_p)$作用をもつ。
• 双対空間$\Pi(V)^*$は、$(\varphi,\Gamma)$-モジュールの$\psi$-不変部分空間の逆極限と同型であり、$p$-進ホッジ理論への重要な接続を確立する。
• ワッチモジュールの構成は連続的である：フロベニウス行列$P$の摂動が十分に小さな$p$-進イデアル内にある限り、新たなワッチモジュールが得られる。
• 評価条件$v_p(a_p) \gg 0$により、$N_{k,a_p}/XN_{k,a_p} \cong D_{\rm cris}(V_{k,a_p}^*)$を満たすワッチモジュール$N_{k,a_p}$の存在が保証される。
• 一般に$\Pi^0(V)/p$は有限長であり、$T/pT$が既約であるすべての場合において、$p$を法とする減少に関する予想が検証されている。
• 連続性の証明は、$X$の高次のべきを法とする行列方程式の逐次近似による解法に依拠しており、評価$\alpha(k-1)$が関与する。