[論文レビュー] Towards an Intersection Chow Cohomology Theory for GIT Quotients

Dan Edidin, Matthew Satriano|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、適切に安定で滑らかなアーティンスタック（特にGIT商）の良いモジュライ空間に対して、基礎的な交差チャウコhomology理論を確立する。具体的には、有理係数の操作的チャウ類が、スタック上で一意に有理同値類の下で定義される位相的に強いサイクルによって表現可能であることを示す。主な結果は、1次元コドメインにおける有理ピカード群から操作的チャウ群への自然な写像が同型であることである。

ABSTRACT

We study the Fulton-Macpherson operational Chow rings of good moduli spaces of properly stable, smooth, Artin stacks. Such spaces are étale locally isomorphic to geometric invariant theory quotients of affine schemes, and are therefore natural extensions of GIT quotients. Our main result is that, with rational coefficients, every operational class can be represented by a so-called topologically strong cycle on the corresponding stack. Moreover, this cycle is unique modulo rational equivalence on the stack. Using out methods, we prove that if $X$ is the good moduli space of a properly stable, smooth, Artin stack then the natural map from the Picard group of $X$ to the first operational Chow group of $X$ is surjective with rational coefficients.

研究の動機と目的

• GIT商として得られる特異的でない多様体への交差コホモロジー理論の拡張、特に正次元の安定化子をもつもの。
• 適切に安定で滑らかなアーティンスタックの良いモジュライ空間における操作的チャウ環の定義と研究。
• 安定化子次元による層化に基づく横断的条件を満たす幾何的サイクルと操作的クラスの間の対応の確立。
• 有理ピカード群が1次元操作的チャウ群に同型に写ることの証明により、特異的交差理論における重要な問題を解決。

提案手法

• スタック上での『位相的に強い』サイクルの概念を導入する。これは、良いモジュライ空間の射に関して飽和し、削減に関して閉じている部分スタックとして定義される。
• 相対チャウ群 $A^k_{\text{tst}}(\mathcal{X}/X)$ および $A^k_{\text{st}}(\mathcal{X}/X)$ を、チャウ群 $A^k(\mathcal{X})$ の部分群として定義する。それぞれは、位相的に強いサイクルおよび強いサイクルによって生成される。
• スタックの安定化子次元による層化を用いて、操作的クラスを代表するサイクルに横断的条件を課す。
• 有理同値を用いたサイクル論的議論により、引き戻し写像 $\pi^*: A^*_{\text{op}}(X)_{\mathbb{Q}} \to A^*(\mathcal{X})_{\mathbb{Q}}$ の単射性を証明する。
• 次元、コドメイン、特異性（有限商特異点や低次元ケースを含む）に基づく場合分けを用いて、引き戻しの全射性を確立する。
• ラインバンドルおよび第一チャーン類に関する結果を応用し、任意の有理1次元操作的クラスがラインバンドルから生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 良いモジュライ空間の適切に安定で滑らかなアーティンスタックの操作的チャウ類は、スタック上で位相的に強いサイクルによって表現可能か？
• RQ2 有理係数を用いた引き戻し写像 $\pi^*: A^*_{\text{op}}(X)_{\mathbb{Q}} \to A^*(\mathcal{X})_{\mathbb{Q}}$ は単射かつ全射か？
• RQ3 このようなモジュライ空間において、自然な写像 $\operatorname{Pic}(X)_{\mathbb{Q}} \to A^1_{\text{op}}(X)_{\mathbb{Q}}$, $L \mapsto c_1(L)$ は同型になるか？
• RQ4 位相的に強いサイクルはすべての操作的クラスを表現するのに十分か？また、それらが主に強いサイクルであるための条件は何か？
• RQ5 残留ゲーブル $BG_x$ との交差が消えることは、位相的に強いサイクル $\alpha$ が $X$ からの引き戻しの像にあるための十分条件か？

主な発見

• 任意の $A^*_{\text{op}}(X)_{\mathbb{Q}}$ 内の操作的クラスは、スタック $\mathcal{X}$ 上の位相的に強いサイクルによって表現可能であり、そのサイクルは $\mathcal{X}$ 上で有理同値類の下で一意的である。
• 引き戻し写像 $\pi^*: A^*_{\text{op}}(X)_{\mathbb{Q}} \to A^*(\mathcal{X})_{\mathbb{Q}}$ は単射であり、その像は位相的に強いサイクルの部分群に含まれる。
• 自然な写像 $\operatorname{Pic}(X)_{\mathbb{Q}} \to A^1_{\text{op}}(X)_{\mathbb{Q}}$, $L \mapsto c_1(L)$ は同型であり、有理第一チャーン類が1次元操作的チャウ群を生成することを示している。
• 有限商特異点をもつスタックでは、操作的チャウ環の引き戻しの像は主に強いサイクルの群に含まれる。
• 低コドメインまたは低次元の場合、相対的位相的に強いサイクル群と主に強いサイクル群は有理係数で一致するため、この場合に引き戻しは全射である。
• 位相的に強いサイクル $\alpha$ が $\pi^*$ の像にあるためには、すべての残留ゲーブル $BG_x$ に対して $\alpha \cdot BG_x = 0$ を満たすことが必要である。本稿では、これが十分条件であるかどうかも問うている。