[論文レビュー] Towards Covariant Matrix Theory

Djordje Minić|ArXiv.org|Sep 17, 2000

Noncommutative and Quantum Gravity Theories被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、11次元膜の離散化を用いて、高次元代数的構造、特に量子三重ナンブ括弧を用いて、行列理論の共変的定式化を提案する。これは、行列交換子を3次元体積保存微分同相写像に一般化する。主な貢献は、時空不確定性関係を、行列理論の射影ヒルベルト空間上の非アーベルシンプレクティック構造に関連付ける幾何的枠組みを提供することであり、11次元スーパーラヴィットの運動方程式がU(∞)不変Kähler幾何学から生じる可能性を示唆する。

ABSTRACT

We review an approach towards a covariant formulation of Matrix theory based on a discretization of the 11d membrane. Higher dimensional algebraic structures, such as the quantum triple Nambu bracket, naturally appear in this approach. We also discuss a novel geometric understanding of the space-time uncertainty relation which points towards a more geometric formulation of Matrix theory.

研究の動機と目的

• ライトコンパスゲージにおける標準的行列理論に還元される共変的行列理論の定式化を構築すること。
• 行列代数とU(N)対称性を、三重ナンブ括弧などの高次元代数的構造に一般化し、膜の3次元体積保存微分同相写像を記述すること。
• 行列理論の射影ヒルベルト空間上の非アーベルシンプレクティック構造を通じて、時空不確定性関係の幾何的解釈を提供すること。
• 11次元スーパーラヴィットの運動方程式が、U(∞)不変Kähler構造からどのように生じるかを検討すること。これは、弦理論における共形不変性に類似している。

提案手法

• N×N行列と2次元フーリエモードの対応関係を用いて11次元膜の世界体積を離散化し、三重ナンブ括弧を介して3次元に拡張する。
• 量子三重ナンブ交換子 [A,B,C]_N = ABC - ACB + BCA - BAC + CAB - CBA を用い、U(N)ゲージ代数を3次元体積保存微分同相写像に一般化する。
• ナンブ括弧の基本的性質（FI-1）を適用し、ネストされた作用の下での代数的構造の一貫性を保証する。
• 膜の運動を、Nambuの運動方程式 dX/dt = {f,g,X} により定式化する。ここで D(f,g) は無限小の体積保存微分同相写像を生成する。
• 行列理論のヒルベルト空間をブロック対角N×N行列として表現し、非アーベル構造を含む幾何的量子力学の定式化を一般化する。
• 11次元スーパーラヴィットの運動方程式が、射影ヒルベルト空間上の再パラメトライゼーション不変かつU(∞)不変なシンプレクティック構造から生じる可能性を仮説立てる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 行列理論の行列代数は、11次元膜の3次元体積保存微分同相写像を記述するために、どのように一般化可能か？
• RQ2 量子三重ナンブ括弧は、共変的行列理論を定式化する上で果たす役割は何か？
• RQ3 時空不確定性関係は、幾何的非アーベル量子力学的枠組みからどのように生じるか？
• RQ4 11次元スーパーラヴィットの運動方程式は、行列理論の射影ヒルベルト空間上のU(∞)不変Kähler構造から導出可能か？
• RQ5 世界線の再パラメトライゼーション不変性と、共変的行列理論における高次元代数的構造の出現との間には、どのような関係があるか？

主な発見

• 三重ナンブ括弧は、3次元体積保存微分同相写像を記述する自然な代数的構造を提供し、標準的行列理論における2次元面積保存微分同相写像の交換子代数を一般化する。
• 基本的性質（FI-1）により、ナンブ括弧代数の一貫性が保証され、Nambuの運動方程式 dX/dt = {f,g,X} を用いた有限変換の定義が可能になる。
• 時空不確定性関係は、行列理論の射影ヒルベルト空間上の非アーベルシンプレクティック構造の結果として幾何的に解釈される。
• 本稿では、11次元スーパーラヴィットの運動方程式が、射影ヒルベルト空間上のU(∞)不変Kähler構造から生じる可能性を仮説立てる。これは、弦理論における共形不変性が果たす役割に類似している。
• 離散化された膜アプローチにより、より高い対称性と動的なRおよびNが自然に出現し、M理論のより基本的な幾何的定式化が示唆される。
• この枠組みは、横方向の五次元膜および多数体重力子相互作用が、この共変的定式化において明示的に実現可能である可能性を示唆している。