[論文レビュー] Towards Mori's program for the moduli space of stable maps

Dawei Chen, İzzet Coşkun+1 more|ArXiv.org|May 18, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、安定写像のモジュライ空間 $\overline{\mathcal{M}}_{0,0}(\mathbb{P}^r,d)$ における森のプログラムを進展させ、有効な divisor 類を計算し、それらの幾何学的性質を分析している。主な divisor 類として $H$, $\Delta_{k,d-k}$, $D_{\text{deg}}$, $NL$, $TN$, $TR$, および $NI$ を特定し、テスト曲線と交差理論を用いて、特に $d$ と $r$ が小さい場合の安定基底 locus 分解と有効コーン構造を同定し、ヒルベルトスキームや分岐曲線の空間を含む双有理モデルを明らかにした。

ABSTRACT

We introduce and compute the class of a number of effective divisors on the moduli space of stable maps $\bar M_{0,0}(P^{r},d)$, which, for small d, provide a good understanding of the extremal rays and the stable base locus decomposition for the effective cone. We also discuss various birational models that arise in Mori's program, including the Hilbert scheme, the Chow variety, the space of $k$-stable maps, the space of branchcurves and the space of semi-stable sheaves.

研究の動機と目的

• Mori理論を用いて、$\overline{\mathcal{M}}_{0,0}(\mathbb{P}^r,d)$ の有効コーンと安定基底 locus 分解を理解すること。
• モジュライ空間上での $H$, $\Delta_{k,d-k}$, $D_{\text{deg}}$, $NL$, $TN$, $TR$, および $NI$ といった重要な有効 divisor 類を特定し、計算すること。
• これらの divisor 類によって誘導される写像とそれらの関連モデルを調べることで、モジュライ空間の双有理幾何を分析すること。
• 既知のモジュライ空間（ヒルベルトスキームや分岐曲線の空間など）との関係で、$M(D) = \mathrm{Proj}(\bigoplus H^0(\overline{\mathcal{M}}, mD))$ のモデルの幾何的解釈を提供すること。
• テスト曲線と Macaulay2 を用いた計算フレームワークを確立し、特定の曲線が動くこと（moving）を確認することで、有効性と基底 locus 構造を裏付けること。

提案手法

• 幾何的インシデント条件による divisor 類の計算：$H$ は codimension-two の部分空間と交わる写像に対応し、$\Delta_{k,d-k}$ は分岐するドメインに対応し、$D_{\text{deg}}$ は像が全空間を張らない写像に対応する。
• $\overline{\mathcal{M}}_{0,0}(\mathbb{P}^{r+m},d) \dashrightarrow \overline{\mathcal{M}}_{0,0}(\mathbb{P}^r,d)$ の射影写像 $\pi$ を用いた引き戻しにより、$r$ の異なる値間で divisor 類を拡張する。
• $\overline{\mathcal{M}}_{0,0}(\mathbb{P}^r,d)$ の blow-up 上での交差理論、特に $\widetilde{D_{\text{deg}}}$ 上で、$\widetilde{H}$ と $\widetilde{NL}$ の交差数を計算する。
• $\overline{\mathcal{M}}_{0,0}(\mathbb{P}^3,4)$ と $\overline{\mathcal{M}}_{0,0}(\mathbb{P}^2,4)$ におけるテスト曲線 $C_3$ と $C_2$ を用いて、動くこと（moving）と divisor 有効性を検証する。
• Macaulay2 を用いて、$G(4,5)$ と $G(3,5)$ への関連写像が一般に全射であることを確認し、曲線が動くことを裏付ける。
• 関連する Grassmannian への写像の微分のランクに基づき、零条件を満たす 1 次元族の写像が動くかどうかをテストする一般アルゴリズムを構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小規模な $d$ と $r$ に対して、$\overline{\mathcal{M}}_{0,0}(\mathbb{P}^r,d)$ の有効コーンの生成子は何か？
• RQ2 どの divisor 類が、ヒルベルトスキームや分岐曲線の空間といった既知のモジュライ空間に双有理同型なモデルを誘導するか？
• RQ3 テスト曲線を用いて、与えられた divisor 類が有効であるか、基底点をもたないかをどのように特定できるか？
• RQ4 $d \leq r$ のとき、$\overline{\mathcal{M}}_{0,0}(\mathbb{P}^r,d)$ の有効コーンにおける安定基底 locus 分解は何か？
• RQ5 関連する Grassmannian への写像の幾何に基づいて、零条件を満たす 1 次元族の写像が動くかどうかを確認する一般アルゴリズムを構築できるか？

主な発見

• $d = r$ のとき、有効コーン $\mathrm{Eff}_{d,d}$ は $D_{\text{deg}}$ と $\Delta_{k,d-k}$（$1 \leq k \leq \lfloor d/2 \rfloor$）によって生成される。
• $\widetilde{D_{\text{deg}}}$ の blow-up 上で、交差数 $\widetilde{H}^{12} = 80160$, $\widetilde{H}^{11}\widetilde{NL} = 93120$, および $\widetilde{H}^a\widetilde{NL}^{12-a} = 119020$（$0 \leq a \leq 6$）が計算された。
• $\widetilde{D_{\text{deg}}}$ 上での $\widetilde{H}$ は $\eta + 3\kappa$ に数的に同値であり、$\widetilde{NL}$ は $\lambda + 3\kappa$ に数的に同値である。
• $\overline{\mathcal{M}}_{0,0}(\mathbb{P}^3,4)$ 内のテスト曲線 $C_3$ は、$G(4,5)$ への関連写像の微分が全射であることを示すことで、動くことが確認された。
• $\overline{\mathcal{M}}_{0,0}(\mathbb{P}^2,4)$ 内のテスト曲線 $C_2$ は、$G(3,5)$ への写像の微分が全射であることで、動くことが確認された。
• Grassmannian への写像の微分のランクをチェックすることにより、零条件を満たす 1 パrameter 家族の写像が動くかどうかをテストする、一般の Macaulay2 に基づくアルゴリズムが開発された。