[論文レビュー] Towards the Locality of Vizing's Theorem

Hsin-Hao Su, Hoa T. Vu|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 29被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、単純グラフに対する2つの分散エッジ彩色アルゴリズムを提示する：確率的アルゴリズムはΔ+2色を、決定的アルゴリズムはΔ+O(log n/log log n)色を用い、両者ともpoly(Δ, log n)ラウンドで実行される。この手法は、局所的負荷を低く保つことで色数を最小化しつつ、効率的な局所性を維持するため、エッジ彩色を制限付きオンラインボールインビン問題に還元する。

ABSTRACT

Vizing showed that it suffices to color the edges of a simple graph using $Δ+ 1$ colors, where $Δ$ is the maximum degree of the graph. However, up to this date, no efficient distributed edge-coloring algorithms are known for obtaining such a coloring, even for constant degree graphs. The current algorithms that get closest to this number of colors are the randomized $(Δ+ ildeΘ(\sqrtΔ))$-edge-coloring algorithm that runs in $ ext{polylog}(n)$ rounds by Chang et al. (SODA '18) and the deterministic $(Δ+ ext{polylog}(n))$-edge-coloring algorithm that runs in $ ext{poly}(Δ, \log n)$ rounds by Ghaffari et al. (STOC '18). We present two distributed edge-coloring algorithms that run in $ ext{poly}(Δ,\log n)$ rounds. The first algorithm, with randomization, uses only $Δ+2$ colors. The second algorithm is a deterministic algorithm that uses $Δ+ O(\log n/ \log \log n)$ colors. Our approach is to reduce the distributed edge-coloring problem into an online, restricted version of balls-into-bins problem. If $\ell$ is the maximum load of the bins, our algorithm uses $Δ+ 2\ell - 1$ colors. We show how to achieve $\ell = 1$ with randomization and $\ell = O(\log n / \log \log n)$ without randomization.

研究の動機と目的

• バーディンの最適なΔ+1エッジ彩色と、現在の分散アルゴリズムが使用するより多くの色数の間のギャップを埋めること。
• 近似的に最適な色数を用いながら、多項式対数的または低次の多項式時間複雑性を維持する効率的な分散アルゴリズムを開発すること。
• 2Δ−1の閾値未満の色数で分散エッジ彩色を実現し、バーディンのΔ+1の境界に近づけること。
• 情報交換の半径を制限することで局所性を高め、大規模ネットワークにおいてスケーラブルで実用的なアルゴリズムを実現すること。

提案手法

• 分散エッジ彩色問題を、ビンの負荷ℓが使用色数Δ+2ℓ−1として与えられる、制限付きオンラインボールインビン問題に還元する。
• 確率的戦略によりℓ=1を達成し、確率的アルゴリズムでΔ+2色を実現する。
• 決定的戦略によりℓ=O(log n/log log n)を束縛し、Δ+O(log n/log log n)色を達成する。
• 2段階の修復メカニズムを適用する：まず、共通の欠落色を持つ未彩色エッジの最大マッチングを色付けし、次に、不完全な頂点を衝突グラフを用いて修復する。
• αβエッジおよび部分逆αβファンに衝突グラフを適用し、グループごとにO(1)色を用いて修復を調整する。
• 反復的修復ループを実装し、各反復で未彩色エッジの定数割合を色付けすることで、合計O(log n)回の反復で完了を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的アルゴリズムを用いて、Δ+2エッジ彩色をpoly(Δ, log n)ラウンドで達成できるか？
• RQ2 決定的分散アルゴリズムが、Δ+O(log n/log log n)エッジ彩色をpoly(Δ, log n)ラウンドで達成できるか？
• RQ3 2Δ−1の閾値未満の色数に分散エッジ彩色の色数を低下させつつ、低時間複雑性を維持できるか？
• RQ4 ボールインビン抽象化を用いて情報交換の半径を低減することで、エッジ彩色の局所性を向上させられるか？

主な発見

• 確率的アルゴリズムは、ボールインビン還元においてビン負荷ℓ=1を保証することで、poly(Δ, log n)ラウンドでΔ+2色を達成する。
• 決定的アルゴリズムは、ビン負荷をℓ=O(log n/log log n)に束縛することで、Δ+O(log n/log log n)色を達成する。
• アルゴリズムは各反復で未彩色エッジの定数割合を色付けし、合計O(log n)回の反復で完了する。
• 時間計算量は、決定的バージョンでO(Δ⁴·λ·log³n)、確率的バージョンでO(Δ¹¹·log³n)である。
• 本手法により、色数を削減でき、バーディンのΔ+1の境界に近づく一方で、poly(Δ, log n)時間の範囲に留まる。
• 本手法は二部グラフに適用可能であり、同じコア抽象化を用いて一般グラフへ拡張可能である。