[論文レビュー] TQFT with corners and tilting functors in the Kac-Moody case

Catharina Stroppel|ArXiv.org|May 3, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 46被引用数 24

ひとこと要約

この論文は、可換化可能なKac-Moodyの場合における分解不能な射影的関手の分類を確立し、FrenkelとMalikovの予想を証明する。これらの関手は、全射影的ティルティング対象上の作用によって決定され、トゥーリングコーディングの関手に関連する自然変換を通じて、コーナーを持つ多様体の3次元TQFTを構成する。

ABSTRACT

We study projective functors (i.e. direct summands of compositions of translations through walls) for parabolic versions of $\cO$ as well as for integral regular blocks outside the critical hyperplanes in the symmetrizable Kac-Moody case. It turns out that in both situations the functors are completely determined by their restriction to the additive category generated by (the limit of) a `full projective tilting' object. We describe how projective functors in the parabolic setup give rise to an invariant of tangle cobordisms and formulate a conjectural direct connection to Khovanov homology. Our main result, however, is the classification theorem for indecomposable projective functors in the Kac-Moody case verifying a conjecture of F. Malikov and I. Frenkel.

研究の動機と目的

• 可換化可能なKac-Moodyの場合における分解不能な射影的関手の分類を実行し、FrenkelとMalikovの予想を検証すること。
• 【Str05】における関手的トゥーリング不変量を、向き付けられたトゥーリングおよびコーディングに拡張し、コーナー付き3次元TQFTを導出すること。
• 射影的関手のカテゴリカルOとKhovanovホモロジーとの間の直接的な組合せ的関係を確立すること。
• Kazhdan-Lusztigのテンソル積ではなく、翻訳関手を介して射影的関手を定義することで、先行研究におけるギャップを回避すること。
• 射影的関手が、全射影的ティルティング対象の極限への制限によって完全に決定されることを示すこと。

提案手法

• 射影的関手を、カテゴリカルOのパラボリックおよび正規整数的ブロックにおける壁を越える翻訳関手の合成の直和成分として定義する。
• 構造定理を用いて、関手のHom空間を、それらが全射影的ティルティング対象上に作用する際のHom空間と関連付ける。
• トゥーリング間のコーディングに対応する自然変換を割り当てることで、向き付けられたトゥーリングコーディングの関手的不変量を構成する。
• 不変量がスカラー倍を除いてwell-definedであることを証明し、コーナーを持つ多様体の3次元TQFTを導出する。
• ティルティング同型と中心論理を適用して、関手をティルティング加群およびKac-Moody設定における射影的対象に関連付ける。
• 分解不能な射影的関手の同型類、分解不能なティルティング対象、および対応するブロック内の分解不能な射影的対象の間の自然な全単射を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kac-Moodyの場合における射影的関手はどのように分類可能であり、FrenkelとMalikovの予想を検証できるか？
• RQ2 パラボリックカテゴリカルOにおける射影的関手は、全射影的ティルティング対象の極限への作用によって完全に決定されるか？
• RQ3 射影的関手のカテゴリとKhovanovホモロジーとの間に直接的な組合せ的関係は存在するか？
• RQ4 関手間の自然変換はどのようにしてコーナー付き3次元TQFTを生じさせるか？
• RQ5 中心およびティルティング同型は、Kac-Moody設定における射影的関手の分類において果たす役割は何か？

主な発見

• Kac-Moody設定における分解不能な射影的関手の分類定理が証明され、FrenkelとMalikovの予想が正当化された。
• パラボリックカテゴリカルOにおける射影的関手は、全射影的ティルティング対象の極限が生成する加法的カテゴリへの制限によって完全に決定される。
• コーナー付き3次元TQFTが構成され、トゥーリングコーディングが関手間の自然変換を生じさせ、スカラー倍を除いて不変量を形成する。
• 構造定理を介して、射影的関手間のHom空間は、それらが全射影的ティルティング加群上に作用する際のHom空間と同型である。
• 分解不能な射影的関手の同型類、分解不能なティルティング対象、および対応するブロック内の分解不能な射影的対象の間には自然な全単射が存在する。
• 射影的関手に対してKrull-Remak-Schmidt性質が成り立ち、分解不能な成分への一意的分解が保証される。