[論文レビュー] Trace Finite Element Methods for PDEs on Surfaces

Maxim A. Olshanskii, Arnold Reusken|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 44被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、表面適合メッシュを必要とせずに表面上のPDEを解くためのトレース有限要素法（TraceFEM）を導入する。背景の四面体メッシュ上でのボリューム有限要素関数のトレースを用いて表面PDEを解き、$P_1$要素では最適な$O(h^2)$収束を達成し、高次元および時間変化する表面に対しても安定で精度の高い解法を実現する。

ABSTRACT

In this paper we consider a class of unfitted finite element methods for discretization of partial differential equations on surfaces. In this class of methods known as the Trace Finite Element Method (TraceFEM), restrictions or traces of background surface-independent finite element functions are used to approximate the solution of a PDE on a surface. We treat equations on steady and time-dependent (evolving) surfaces. Higher order TraceFEM is explained in detail. We review the error analysis and algebraic properties of the method. The paper navigates through the known variants of the TraceFEM and the literature on the subject.

研究の動機と目的

• 表面適合三角形分割を必要としない、メッシュに依存しないロバストな有限要素法を、表面上のPDEを解くために開発すること。
• 時間とともに変化する表面におけるPDEの解法という課題に取り組むこと。
• 固定された背景メッシュ上でのトレースに基づく有限要素空間を用いて、高次精度と効率的な計算を実現すること。
• 表面が背景メッシュを任意の方法で貫いても、安定性と最適収束を保証すること。
• 時間依存および連成問題にまで拡張し、移流拡散方程式やレベルセットに基づく時間変化表面に対応すること。

提案手法

• 表面$\Gamma$を含む背景の四面体メッシュ$Ω \subset \mathbb{R}^3$を用意し、表面の幾何形状とは無関係に定義する。
• 連続$P_1$（または高次）関数のボリューム空間からのトレースとして定義される有限要素空間を、陰的に定義された表面$\Gamma_h$上に構築する。
• 表面$\Gamma$を$C^2$のレベルセット関数$\phi$のゼロ等高線で近似し、$\Gamma_h = \{x \in \Omega : \phi_h(x) = 0\}$とする。ここで$\phi_h$は$\phi$の$P_1$補間である。
• トレース空間$V_h^\Gamma$を用いて、$\Gamma_h$上のPDEの弱形式を離散化し、多角形近似$\Gamma_h$上でのガレルキン法 formulation を得る。
• 背景メッシュによって誘導される表面三角形分割$\mathcal{F}_h$上で数値積分を実施し、$O(h^2)$の表面近似を可能にする。
• 時間依存問題に対しては、TraceFEMを時間離散化スキーム（例：陰的エイラー法、BDF2）と組み合わせ、解の拡張に最近傍点法や高速進展法を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 表面適合メッシュを必要とせず、表面とメッシュの交差が任意の方法であってもロバストな表面PDE用有限要素法を開発できるか？
• RQ2 陰的に定義された表面における$P_1$および高次要素に対するTraceFEMの最適収束率は何か？
• RQ3 トポロジーの変化を伴う時間変化表面に対しても、この手法をどのように拡張できるか？
• RQ4 半ラグランジュ的または特徴的時間積分法と組み合わせた場合のTraceFEMの安定性および収束性はどのようなものか？
• RQ5 空間時間にわたり効率的な解の拡張を実現するため、ハイブリッド的に超臨界型ソルバー（例：高速進展法）と組み合わせて使用できるか？

主な発見

• $P_1$ TraceFEMは、定常表面におけるラプラス＝ベルトラミ方程式に対して、$L^2$ノルムおよびエネルギーノルムで最適な$O(h^2)$収束を達成する。
• 誤差境界が背景メッシュの形状正則性にのみ依存するため、表面とメッシュの交差が任意であっても、本手法はロバストである。
• 時間依存表面に対しては、陰的時間積分と適切な解の狭帯域への拡張を組み合わせることで、安定性と収束性を維持する。
• BDF2時間積分と$P_1$ TraceFEMを用いた数値実験では、時間的・空間的両方で2次収束が確認された。
• トポロジーの変化を伴う表面に対しても、提示された研究結果により、本手法が有効に機能することが示された。
• ハイブリッド的手法として、TraceFEMと超臨界型ソルバー（例：高速進展法）を組み合わせることで、時間ステップ間でモジュラーかつ効率的かつ高精度に解を拡張できる。