[論文レビュー] Translation Groupoids and Orbifold Bredon Cohomology

Dorette Pronk, Laura Scull|arXiv (Cornell University)|May 22, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 17被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、表現可能オルビフォールドの2カテゴリと良い写像の2カテゴリ、および一般化された等変写像を伴うオルビフォールド移動群コホモロジーの2カテゴリの間の同値性を確立し、等変ホモトピー理論の結果をオルビフォールドへと移行可能にする。また、モラータ同値と2カテゴリの分数の仕組みを用いて、群コホモロジー表現の非一意性を解消することで、オルビフォールド版の等変コホモロジー理論（特にK理論およびブレドンコホモロジー）を定義するフレームワークを導入する。

ABSTRACT

We show that the bicategory of (representable) orbifolds and good maps is equivalent to the bicategory of orbifold translation groupoids and generalized equivariant maps. We use this result to define an orbifold version of Bredon cohomology.

研究の動機と目的

• 表現可能オルビフォールドの群コホモロジー表現の非一意性を、モラータ同値によって特徴づけること。
• すべての表現可能オルビフォールド間の写像が、それに対応する移動群コホモロジー間の等変写像として表現可能であることを示し、等変不変量の函手的性を実現すること。
• 移動群コホモロジーとオルビフォールドの間の同値性を用いて、等変不変量を輸入することで、オルビフォールドのコホモロジー理論（特にK理論およびブレドンコホモロジー）を定義すること。
• 特定の係数図式を用いたブレドンコホモロジーが、群コホモロジー表現の選択に依存しない、well-definedな不変量としてオルビフォールド上で定義されることを確立すること。
• 2カテゴリの表現可能オルビフォールドと良い写像、および2カテゴリの移動群コホモロジーと一般化された等変写像の間の同値性を、2カテゴリの分数構成により確立すること。

提案手法

• 有限群が多様体に作用する作用群コホモロジーとして、表現可能オルビフォールドをモデル化するための移動群コホモロジーを用いる。
• 本質的同値を介して因数分解する写像として、移動群コホモロジー間の一般化された等変写像を定義し、オルビフォールド構造と整合性を保つ。
• 本質的同値のクラス $W$ を反転することで、内部同値に変換する、$\mathsf{RepOrbifolds}_{\mathsf{eqvar}}(W^{-1})$ という2カテゴリの分数を構成する。
• リー群コホモロジー間の本質的同値が2対3性質を満たすことを証明し、2カテゴリの分数が適切に定義され、合成に関して閉じていることを保証する。
• すべての移動群コホモロジー間の本質的同値が、2つの基本的タイプの合成として得られることを示す：(1) 本質的全射の押し戻し、および (2) 正規部分群による商。
• 2カテゴリ $\mathsf{RepOrbifolds}_{\mathsf{eqvar}}(W^{-1}) \simeq \mathsf{RepOrbifolds}_{\mathsf{atlas}}(W^{-1})$ の同値性を用いて、等変不変量をオルビフォールド設定へと移行する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての表現可能オルビフォールド間の写像は、それに対応する移動群コホモロジー間の等変写像として表現可能か？
• RQ2 K理論やブレドンコホモロジーといった等変コホモロジー理論のうち、群コホモロジー表現の選択に依存しない、オルビフォールド上でwell-definedな不変量となるのはどれか？
• RQ3 オルビフォールドの群コホモロジー表現の非一意性を、不変コホモロジー不変量の不変性を保証するために、体系的に記述・制御する方法は何か？
• RQ4 良い写像を伴うオルビフォールドの2カテゴリと、一般化された等変写像を伴う移動群コホモロジーの2カテゴリとの間の正確な関係は何か？
• RQ5 どのような係数図式の条件下で、ブレドンコホモロジーが、単なる等変空間のための理論ではなく、オルビフォールドのための不変理論を提供するのか？

主な発見

• 良い写像を伴う表現可能オルビフォールドの2カテゴリは、2カテゴリの分数構成により、一般化された等変写像を伴う移動群コホモロジーの2カテゴリと同値である。
• すべてのリー群コホモロジー間の本質的同値は、2つの標準的タイプの合成に分解可能である：(1) 本質的全射の押し戻し、および (2) 正規部分群による商。
• 本質的同値のクラスは2対3性質を満たし、2カテゴリの分数が適切に定義され、合成に関して閉じていることが保証される。
• G-等変ベクトルバンドルを用いて定義されるトポロジカルK理論は、オルビフォールドコホモロジー理論としてwell-definedに下降し、他の手法とは独立した直接的な構成を提供する。
• モラータ同値に関して不変な係数図式を用いたブレドンコホモロジーは、well-definedなオルビフォールド不変量を生じさせ、等変コホモロジー理論をオルビフォールドのカテゴリへと拡張する。
• 2つの2カテゴリ間の同値性により、等変ホモトピー理論の結果が、特に群作用によって定義されるコホモロジー理論に関して、オルビフォールドの研究へと体系的に移行可能である。