[論文レビュー] Translation-like actions yield regular maps

Yongle Jiang|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、有限生成群 $H$ が別の有限生成群 $G$ に移動類似作用をもつならば、$H$ から $G$ への正則写像が存在することを確立する。主な貢献は、移動類似作用と正則写像を結びつけることであり、これにより、漸近次元、分離関数、成長といった既知の障害を用いて、このような作用が存在しないことを示すことが可能になり、バウムスラッグ＝ソリター群が古典的ランプライト群に移動類似作用をもたないなど、新たな存在しない結果が得られる。

ABSTRACT

For finitely generated groups $H$ and $G$, we observe that $H$ admits a translation-like action on $G$ implies there is a regular map, which was introduced in Benjamini, Schramm and Timár's joint paper, from $H$ to $G$. Combining with several known obstructions to the existence of regular maps, we have various applications. For example, we show that the Baumslag-Solitar groups do not admit translation-like actions on the classical lamplighter group.

研究の動機と目的

• 幾何群論における移動類似作用と正則写像の間の関係を確立すること。
• 漸近次元、分離関数、成長といった正則写像の既知の障害を用いて、移動類似作用の存在しない結果を導出すること。
• コーエンの $\mathbb{Z}^d$ と $F_2$ に関する問い、ジアンデルのバウムスラッグ＝ソリター群に関する予想といった、未解決の問題を解決すること。
• 正則写像を作用と不変量の間のブリッジとして用いることで、幾何群論的性質を分析する新しい枠組みを提供すること。

提案手法

• 群作用における群元の自由かつ一様有界な摂動として、移動類似作用を定義する。
• 作用を用いて定義されるコ cycle $c(h,x) = (h*x)^{-1}x$ を用いて、写像 $f: H \to G$ を構成する。
• 構成された写像が $\kappa$-正則性条件（リプシッツ制御と単位球の逆像の均一被覆）を満たすことを証明する。
• 移動類似条件から得られる有界性 $\lambda_h = \sup_x \ell_G(c(h,x)) < \infty$ を用いて、リプシッツ定数を制御する。
• 漸近次元や分離関数といった不変量の正則写像に関する既知の単調性を適用する。
• これらの不変量を、仮想的自由性やねじれなし性といった群論的性質と組み合わせることで、存在しない結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群 $H$ から群 $G$ への移動類似作用の存在は、$H$ から $G$ への正則写像の存在を意味するか？
• RQ2 正則写像の障害（漸近次元や分離関数など）を用いて、移動類似作用を除外できるか？
• RQ3 バウムスラッグ＝ソリター群 $BS(m,n)$ は、ランプライト群 $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\wr\mathbb{Z}$ に移動類似作用をもつか？
• RQ4 $d \geq 2$ のとき、$\mathbb{Z}^d$ は自由群 $F_2$ に移動類似作用をもつか？

主な発見

• 群 $H$ が群 $G$ に移動類似作用をもつならば、$H$ から $G$ への正則写像が存在する。これは、幾何的作用と正則写像の間の直接的な関係を確立する。
• $mn \neq 0$ のとき、$BS(m,n)$ の漸近次元は 2 以上であるが、ランプライト群の漸近次元は 1 であるため、$BS(m,n) \not\rightarrow_{\text{reg}} (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\wr\mathbb{Z}$ である。
• $d \geq 2$ のとき、$\mathbb{Z}^d \not\rightarrow_{\text{reg}} F_2$ である。なぜなら、$\mathbb{Z}^d$ の分離関数は発散するが、$F_2$ の分離関数は有界だからである。
• $mn = 0$ のとき、$BS(m,n)$ は自由群を含み、$F_2$ がランプライト群へ正則写像をもたないため、$BS(m,n)$ はそれらに移動類似作用をもたない。
• この結果により、コーエンの $\mathbb{Z}^d$ と $F_2$ に関する問いが解決され、ジアンデルの予想（バウムスラッグ＝ソリター群とランプライト群）は否定的に解決された。