[論文レビュー] Transmission eigenvalues and far field invisibility for a finite number of incident/scattering directions

Anne-Sophie Bonnet-Ben Dhia, Lucas Chesnel+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2014

Numerical methods in inverse problems参考文献 10被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、測定可能な入射波および遠方場散乱方向が有限個に制限される状況下での音響散乱における伝送固有値の特性を調査する。物理的条件下で、伝送固有値が離散的集合を形成することを証明し、相対散乱行列を恒等的にゼロにするように不透明な散乱体を構成するための構成的技法を提案する。これにより、遠方場測定に対して見えない散乱体の数値的構築が可能になる。

ABSTRACT

Abstract. We investigate a time harmonic acoustic scattering problem by a penetrable inclusion with compact support embedded in the free space. We consider cases where an observer can produce incident plane waves and measure the far field pattern of the resulting scattered field only in a finite number of directions. In this context, we say that a wavenumber is a transmission eigenvalue if the corresponding relative scattering matrix has a non trivial kernel. Under certain assumptions on the physical coefficients of the inclusion, we show that the transmission eigenvalues form a (possibly empty) discrete set. Then, in a second step, for a given real wavenumber and a given domain D, we present a constructive tech-nique to prove that there exist inclusions supported in D for which the corresponding relative scattering matrix is null. These inclusions have the important property to be impossible to detect from far field measurements. The approach leads to a numerical algorithm which is described at the end of the paper and which allows to provide examples of (approximated) invisible inclusions. Key words. Interior transmission problem, invisibility, energy identities, asymptotic analysis, relative scattering matrix. 1

研究の動機と目的

• 測定可能な入射波および遠方場散乱方向が有限個に制限される状況下での音響散乱における伝送固有値を分析すること。
• この有限測定設定下で、伝送固有値が離散的集合を形成する条件を確立すること。
• 相対散乱行列が消えることで遠方場測定によって検出不能となる透光性不透明体を構成するための構成的技法を開発すること。
• このような非可視不透明体の近似例を生成するための数値的アルゴリズムを提供すること。

提案手法

• 有限方向測定制約下で、相対散乱行列の非自明な核を有する波数として伝送固有値を定義する。
• エネルギー恒等式と漸近解析を用いて、コンパクトに台を持つ不透明体の文脈における散乱行列およびその核の性質を導出する。
• 伝送固有値の離散性を保証するための不透明体の物理的係数（例えば密度および音速）に関する条件を確立する。
• 相対散乱行列が恒等的にゼロとなるように、与えられた領域 D 内に台を持つ不透明体を構成する。これにより、遠方場測定に対して非可視であることが保証される。
• 構成的技法に基づいて、非可視不透明体の近似例を計算するための数値的アルゴリズムを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測定可能な入射波および遠方場散乱方向が有限個である状況下で、どのような条件下で伝送固有値が離散的集合を形成するか？
• RQ2 有限測定設定下で、相対散乱行列が恒等的にゼロとなるように不透明体を構成できるか？
• RQ3 散乱行列のゼロ化によって非可視性を達成するためには、不透明体の係数および台にどのような物理的・幾何的制約が必要か？
• RQ4 このような非可視不透明体の近似例を生成するための数値的アルゴリズムはどのように設計できるか？

主な発見

• 不透明体の物理的係数に適切な仮定をおくと、伝送固有値は離散的集合を形成する。
• 任意の与えられた実波数および領域 D に対して、D 内に台を持つ不透明体が存在し、その相対散乱行列は恒等的にゼロである。
• 相対散乱行列が消えるため、これらの不透明体は遠方場測定によって検出不能であり、遠方場で非可視であることを意味する。
• エネルギー恒等式と漸近解析に基づく体系的な手法により、このような不透明体の構成が可能である。
• 非可視不透明体の近似例を計算可能にする数値的アルゴリズムが導出された。