[論文レビュー] Tropical enumeration of curves in blowups of the projective plane

Brett Parker|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2014

Polynomial and algebraic computation参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、トロピカル幾何と正規交叉除法に関する相対的不変量を用いて、ℂP² のブ lows-up における任意の genus の Gromov–Witten 不変量を再帰的に計算する手法を提示する。主な貢献は、ブ lows-up の数に関わらず適用可能な一様な再帰公式であり、簡略化されたトロピカル接合公式から導出され、Mathematica を用いた実装により検証されており、従来の手法を超えて、高 genus の曲線および多数のブ lows-up に対しても不変量の計算を可能にする。

ABSTRACT

We describe a method for recursively calculating Gromov-Witten invariants of all blowups of the projective plane. This recursive formula is different from the recursive formulas due to Göttsche and Pandharipande in the zero genus case, and Caporaso and Harris in the case of no blowups. We use tropical curves and a recursive computation of Gromov-Witten invariants relative a normal crossing divisor.

研究の動機と目的

• ℂP² を任意の点数でブ lows-up した場合の、任意の genus における Gromov–Witten 不変量を計算する一様な再帰的公式の開発。
• Caporaso–Harris や Göttsche–Pandharipande の既存の再帰的手法を、ゼロ genus およびブ lows-up なしのケースにとどまらず、一般の genus および任意のブ lows-up 数にまで拡張すること。
• 絶対不変量を相対的データから体系的に計算できる、トロピカル幾何と相対的不変量に基づく枠組みの確立。
• Mathematica プログラムによる検証が可能な計算可能な手法の提供。12次までおよびそれ以上の次数の不変量の生成を可能にする。

提案手法

• 本手法は、直線および例外球面の厳密変換からなる正規交叉除法 N を持つブ lows-up多様体 M に対する相対的 Gromov–Witten 不変量を用いる。
• 簡略化されたトロピカル接合公式（定理 2.1）を適用し、M の相対的不変量を再帰的に計算する。これらは線形写像 Ψ を通じて絶対不変量に再構成される。
• 生成関数 Fₙ は、接触データの自己同型による重み付けを施した相対的不変量を符号化する。接触データは、(1,1) および (1,1−n) が張る錐内に存在する整数ベクトルとして表現される。
• 重要な要素として、トロピカル曲線の接合と整合性条件から導かれる基本的相対的不変量の再帰的計算がある。たとえば n_{(a,b);(a,b+d)} =  {a  choose  d} が得られる。
• 例外的除法の交差は、導関数が (0,d) の辺からの寄与をモデル化することで処理され、d ≠ 0 の場合に n_{;(0,d)} = (−1)^{d+1}/d² という式が得られる。
• 絶対不変量は、Fₙ に写像 Ψ を適用することで回復され、これは接触データを x と q の母関数を通じてホモロジー類と genus に変換する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の genus および任意の n に対して、ℂP² を n 点でブ lows-up した場合の Gromov–Witten 不変量を計算できる一様な再帰的公式は存在するか？
• RQ2 トロピカル幾何と相対的不変量を用いて、ブ lows-up 数が異なる場合の不変量計算を統一的に扱う方法は何か？
• RQ3 例外的除法の鎖に指定された接触順序を持つ曲線の相対的不変量の構造は何か？
• RQ4 トロピカル曲線の再帰的構造を用いて、Bryan と Leung のような不変量の閉形式表現を導出できるか？
• RQ5 垂直導関数 (0,d) を持つ辺からの寄与は、総 Gromov–Witten 不変量およびホモロジー類の交差にどのように影響するか？

主な発見

• 本稿では、任意の genus および任意の n ≥ 0 に対して、ℂP² を n 点でブ lows-up した場合の Gromov–Witten 不変量を計算する一様な再帰的公式を導出する。
• 相対的不変量 n_{(a,b);(a,b+d)} は {a  choose  d} として計算され、再帰の主要な構成要素を提供する。
• 1 つの例外的除法を d 回交差する曲線に対する不変量 n_{;(0,d)} は、すべての d ≠ 0 に対して (−1)^{d+1}/d² に等しいことが判明した。
• 相対的不変量から構築された生成関数 Fₙ を用いることで、写像 Ψ を通じて絶対不変量を再構成可能であり、これは genus とホモロジー類のデータを符号化する。
• Mathematica プログラムにより、12次まで不変量が正しく計算され、Göttsche–Pandharipande や Brugallè の既知の結果と整合することが確認された。
• 検証はなされたが、本手法はまだ、ℂP² を 9 点でブ lows-up し、g 点を通る genus-g 曲線に対する Bryan と Leung の閉形式公式を再現できていないため、完全な閉形式解への到達には未解決の課題が残っている。