[論文レビュー] Tulczyjew's Triplet for Lie Groups II: Dynamics

Oğul Esen, Hasan Gümral|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 34被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、Tulczyjewの三重形式をリー群上のラグランジュ力学およびハミルトニアン力学へ拡張し、全空間的に自明化されたシンプレクティック空間 $^1TT^*G$ 内のラグランジュ部分多様体として、自明化されたオイラー＝ラグランジュ方程式およびハミルトンの運動方程式を提示する。さらに、シンプレクティック減少を用いてオイラー＝プアンカレ方程式およびリー＝ポワンスィエ方程式を導出し、一般化されたリーマン変換を確立するとともに、自明化および減少された力学系の両方に対してモース族を導入し、リー群上の不変力学系を統一的に幾何学的に扱う枠組みを提供する。

ABSTRACT

Taking configuration space as a Lie group, the trivialized Euler-Lagrange and Hamilton's equations are obtained and presented as Lagrangian submanifolds of the trivialized Tulczyjew's symplectic space. Euler-Poincaré and Lie-Poisson equations are presented as Lagrangian submanifolds of the reduced Tulczyjew's symplectic space. Tulczyjew's generalized Legendre transformations for trivialized and reduced dynamics are constructed.

研究の動機と目的

• リー群を配置空間とする力学系にTulczyjewのシンプレクティック三重形式を一般化すること。
• 全空間的に自明化されたTulczyjew空間 $^1TT^*G$ 内のラグランジュ部分多様体として、自明化されたオイラー＝ラグランジュ方程式およびハミルトンの運動方程式を導出すること。
• オイラー＝プアンカレおよびリー＝ポワンスィエ力学を、減少シンプレクティック空間 $\mathfrak{z}_d = \mathcal{O}_\lambda \times \mathfrak{g}^* \times \mathfrak{g}$ 内のラグランジュ部分多様体として定式化すること。
• モース族を用いて自明化および減少された力学系の間の一般化されたリーマン変換を構成すること。
• プラズマ力学（Vlasov-Poisson方程式）を動機として、退化系を扱う幾何学的枠組みを提供すること。

提案手法

• 第一種の全空間的自明化を用いて、リー群の作用を反復接続および余接束に持ち上げ、$TG \simeq G \circledS \mathfrak{g}$ および $T^*G \simeq G \circledS \mathfrak{g}^*$ を特定する。
• シンプレクティック構造 $^1\Omega_{T^*G}^\flat$ を用いて、$^1TT^*G$ 内のラグランジュ部分多様体として自明化された力学を表現する。
• $G \circledS (\mathfrak{g} \times \mathfrak{g}^*)$ 上のモース族を用いて、一般化されたリーマン変換を構成し、$\mathfrak{g}^*$ および $\mathfrak{g}$ へのファイブレーションを伴う。
• 自明化された三重形式に対してシンプレクティック減少を適用し、減少シンプレクティック空間 $\mathfrak{z}_d = \mathcal{O}_\lambda \times \mathfrak{g}^* \times \mathfrak{g}$ を得る。$\mathfrak{z}_l$ および $\mathfrak{z}_h$ をそれぞれ $T^*\mathfrak{g}$ および $T^*\mathfrak{g}^*$ に置き換えることで、標準的なシンプレクティック構造を回復する。
• ラグランジュ＝ディラックおよびハミルトン＝ディラック微分 $\mathfrak{d}l: \mathfrak{g} \to \mathfrak{z}_d$ および $\mathfrak{d}h: \mathfrak{g}^* \to \mathfrak{z}_d$ を用いて、オイラー＝プアンカレおよびリー＝ポワンスィエ力学のラグランジュ部分多様体を生成する。
• モース族 $E^{h \to l}$ および $E^{l \to h}$ を用いて、減少力学からその双対形式への逆リーマン変換を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第一種の全空間的自明化を用いて、Tulczyjewの三重形式をリー群の配置空間にどのように適応できるか。
• RQ2 自明化されたオイラー＝ラグランジュ方程式およびハミルトンの運動方程式が、シンプレクティック空間 $^1TT^*G$ 内のラグランジュ部分多様体としてどのように幾何学的に表現されるか。
• RQ3 オイラー＝プアンカレおよびリー＝ポワンスィエ方程式が、減少シンプレクティック空間 $\mathfrak{z}_d$ 内のラグランジュ部分多様体としてどのように現れるか。
• RQ4 モース族が、一般化されたリーマン変換を通じて自明化および減少された力学系の双対性をどのように記述するか。
• RQ5 Tulczyjewの三重形式のシンプレクティック減少が、リー群上の力学系の幾何的構造をどのように保存するか。

主な発見

• 自明化されたオイラー＝ラグランジュ方程式 $G \circledS \mathfrak{g}$ は、ラグランジュ部分多様体 $\left\{g, \frac{\delta \bar{L}}{\delta \xi}, \xi, T^*R_g \frac{\delta \bar{L}}{\delta g}\right\} \subset {}^1TT^*G$ として表現される。
• 自明化されたハミルトンの運動方程式 $G \circledS \mathfrak{g}^*$ は、$\left\{g, \mu, \frac{\delta \bar{H}}{\delta \mu}, -T^*R_g \frac{\delta \bar{H}}{\delta g}\right\} \subset {}^1TT^*G$ として表現される。
• オイラー＝プアンカレ方程式 $\mathfrak{g}$ は、ラグランジュ部分多様体 $\left\{ad_{\xi}^* \frac{\delta l}{\delta \xi}, \frac{\delta l}{\delta \xi}, \xi\right\} \subset \mathfrak{z}_d$ として生じる。
• リー＝ポワンスィエ方程式 $\mathfrak{g}^*$ は、$\left\{ad_{\frac{\delta h}{\delta \mu}}^* \mu, \mu, \frac{\delta h}{\delta \mu}\right\} \subset \mathfrak{z}_d$ として表現される。
• モース族 $E^{\bar{L} \to \bar{H}}(g, \xi, \mu) = \bar{L}(g, \xi) - \langle \mu, \xi \rangle$ は、$G \circledS (\mathfrak{g} \times \mathfrak{g}^*) \to G \circledS \mathfrak{g}^*$ 上の自明化されたラグランジュ力学からハミルトニアン力学へのリーマン変換を記述する。
• オイラー＝プアンカレ力学の逆リーマン変換は、$\mathfrak{g} \times \mathfrak{g}^* \to \mathfrak{g}$ 上のモース族 $E^{h \to l}(\xi, \mu) = \langle \mu, \xi \rangle - h(\mu)$ によって生成される。