[論文レビュー] Twisted Fock Representations of Noncommutative Kähler Manifolds

Akifumi Sako, Hiroshi Umetsu|arXiv (Cornell University)|May 9, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、分離変数を用いた変形量子化を用いて、非可換ケーラー多様体のねじれFock表現を構築する。生成演算子と消滅演算子はヒルベルト随伴をとらない。主な貢献は、多様体上の関数をFock演算子に変換する明示的な辞書の構築であり、これにより、ℂᴺ、ℂPᴺ、ℂHᴺといった複素多様体における非可換幾何学の明示的実現が可能になる。

ABSTRACT

We introduce twisted Fock representations of noncommutative Kähler manifolds and give their explicit expressions. The twisted Fock representation is a representation of the Heisenberg like algebra whose states are constructed by acting creation operators on a vacuum state. "Twisted" means that creation operators are not hermitian conjugate of annihilation operators in this representation. In deformation quantization of Kähler manifolds with separation of variables formulated by Karabegov, local complex coordinates and partial derivatives of the Kähler potential with respect to coordinates satisfy the commutation relations between the creation and annihilation operators. Based on these relations, we construct the twisted Fock representation of noncommutative Kähler manifolds and give a dictionary to translate between the twisted Fock representations and functions on noncommutative Kähler manifolds concretely.

研究の動機と目的

• 分離変数を用いた変形量子化によって構築された非可換ケーラー多様体のFock表現を開発すること。
• 物理的量を形式的べき級数として解釈する変形量子化の課題を、明示的な演算子表現の構築によって解決すること。
• 生成演算子と消滅演算子がヒルベルト随伴をとらないねじれFock表現を定義し、標準的Fock構成を一般化すること。
• 局所関数（座標、ケーラー潜在関数の微分）をFock空間演算子に変換する明示的な辞書を確立すること。
• 星積の自明な遷移性質に由来する遷移関数を用いて、重なり領域における座標チャート間の表現を統合すること。

提案手法

• 生成演算子 $ a_i^\bullet $ と消滅演算子 $ \underline{a}_i $ を用いて、局所座標チャート上にねじれFock表現を構築する。これらはヒルベルト随伴をとらない。
• 真空状態 $ |\vec{0}\rangle $ をすべての $ \underline{a}_i $ で消える状態として定義し、状態は $ a_i^\bullet $ の作用によって生成する。
• カルアベゴフの分離変数を用いた変形量子化を用い、局所座標 $ z^i $, $ \bar{z}^i $、および微分 $ \partial_i\Phi $, $ \partial_{\bar{i}}\Phi $ がハイゼンベルク型の交換関係を満たす。
• 生成関数 $ e^{\Phi/\hbar} = \sum H_{\vec{m},\vec{n}} z^{\vec{m}} \bar{z}^{\vec{n}} $ を用いて、明示的な演算子表現を導出する。ここで $ H_{\vec{m},\vec{n}} $ は計量構造を符号化する。
• 分離変数を用いた星積が自明な遷移関数を持つことを利用して、重なり領域におけるFock表現間の遷移写像を構築する。
• Fock表現上のトレース演算を多様体上の積分として定義し、$ \mathbb{C}^N $ および $ \mathbb{C}H^N $ に対して正規化条件を用いて明示的に計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分離変数を用いた変形量子化によって構築された非可換ケーラー多様体上で、Fock表現を一貫して定義する方法は何か？
• RQ2 生成演算子と消滅演算子がヒルベルト随伴をとらない場合、多様体上の関数（例：$ z^i $, $ \partial_i\Phi $）とFock空間上の演算子との間の明確な対応関係は何か？
• RQ3 重なり領域における座標チャート上でのねじれFock表現どうしの関係は何か？ また、遷移関数を明示的に構成できるか？
• RQ4 Fock表現上のトレース演算とは何か？ そして、それと基礎となるケーラー多様体上の積分とはどのように関係するか？
• RQ5 ケーラー潜在関数が $ |z^i| $ のみに依存する場合、ねじれFock表現はどの条件で標準的Fock代数に還元されるか？

主な発見

• 多様体上の関数とFock演算子との間の辞書が確立された：$ e^{-\Phi/\hbar} \mapsto |\vec{0}\rangle\langle\vec{0}| $, $ z^i \mapsto a_i^\dagger $, $ \frac{1}{\hbar}\partial_i\Phi \mapsto \underline{a}_i $, および $ \bar{z}^i \mapsto a_i = \sum \sqrt{\frac{\vec{m}!}{\vec{n}!}} H_{\vec{m},\vec{k}} H^{-1}_{\vec{k}+\vec{e}_i,\vec{n}} |\vec{m}\rangle\underline{\langle\vec{n}|} $。
• 星積の分離変数を用いた性質に従い、局所チャート上で明示的にねじれFock表現が構築され、非ヒルベルト随伴のペア $ (a_i^\dagger, \underline{a}_i) $ を用いて、標準的Fock理論を一般化する。
• ケーラー潜在関数が $ |z^i| $ のみに依存する場合、補題6.2および命題6.1により、定数倍を除いて標準的Fock代数に還元される。
• $ \mathbb{C}^N $ におけるFock表現のトレースは、$ \mathrm{Tr}(\rho) = \frac{\Gamma(1/\hbar)}{\pi^N \Gamma(1/\hbar - N)} \int_{\mathbb{C}^N} dz^{2D} \mu_g \rho $ で与えられ、多様体上の積分と一致する。
• $ \mathbb{C}H^N $ に対しても同様にトレースが定義され、Fock空間の正規直交性条件 $ \langle \vec{m} | \vec{n} \rangle = \delta_{\vec{m},\vec{n}} $ を用いて正規化される。
• 星積の自明な遷移性質に由来して、重なり領域におけるFock表現間の遷移関数が導出され、多様体全体にわたる一貫性が保証される。