[論文レビュー] Twisted IBL-infinity-algebra and string topology: First look and examples

Pavel Hajek|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2018

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、閉じた向き付け可能多様体のde Rham複体の循環的コホモロジーに、三価のリボングラフを用いたChern-Simons型積分から得られるMaurer-Cartan要素を用いて、ねじれたIBL∞-代数構造を調査する。著者らはn-球面に対してこのねじれを明示的に計算し、それが多くの場合自明であることを示し、この構成がChas-Sullivanのストリングトポロジーをチェーンレベルで実現するという予想を支持する。

ABSTRACT

We study the application of IBL-infinity-algebras to string topology and explicitly compute the case of spheres. This involves finding a Green kernel and computing integrals associated to trivalent ribbon graphs, which are similar to integrals from perturbative Chern-Simons theory. We generalize the computation and show that the twisted IBL-infinity-structure in question is in many cases trivial.

研究の動機と目的

• 閉じた向き付け可能多様体のde Rham複体に、ねじれたIBL∞-代数構造がChas-Sullivanのストリングトポロジーをモデル化するという予想を検証すること。
• 三価のリボングラフを用いたChern-Simons型積分から構成される形式的Maurer-Cartan要素nを計算すること。
• 特定のケースにおいて、nによるねじれが非自明か、多くの場合自明かを調査すること。
• テストケースとしてn-球面と複素射影空間に対して明示的な計算を提供すること。
• 無限次元のde Rham設定におけるdIBL-およびIBL∞-代数の代数的・幾何的構造を明確にすること。

提案手法

• 論文は、閉じた向き付け可能多様体Mのde Rhamコホモロジー複体の循環的双対バーバー複体に、自然なdIBL構造を構成する。
• de Rham微分の形式的逆元としてのグリーン核Gを導入し、全複体とそのコホモロジーの間のホモトピー同値を定義する。
• Maurer-Cartan要素nは、内部頂点で三価のリボングラフと循環積（m+2）を、境界成分でコホモロジー類の成分を用いて構成する。
• ラベル付きリボングラフからの寄与を用いて、M×k上の形式的積分を用いてIBL∞-代数のねじれを計算する。
• n-球面に対して、全de Rham複体からの形式的プッシュフォワードにより、標準Maurer-Cartan要素mから得られる。
• 無限次元設定に起因する無限和を取り扱うために、形式的完備化とフィルトレーションを用いるが、グリーン核GはΩ(M)⊗2に属さないことに注意。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三価のリボングラフ上のChern-Simons型積分から得られるねじれたIBL∞-代数構造が、Sn上で非自明なde Rham構造の変形をもたらすか？
• RQ2 三価のリボングラフから構成されるMaurer-Cartan要素nが、n-球面に対して非ゼロであるか？
• RQ3 Sn上で明示的に計算された結果から、nによるねじれが一般に自明であることが示せるか？
• RQ4 無限次元de Rham設定において、Ω(M)からH*(M)へのMaurer-Cartan要素mの形式的プッシュフォワードはどのように振る舞うか？
• RQ5 H*(M)上のねじれたIBL∞-代数が、Chas-Sullivanのストリングトポロジー代数をどの程度正確にモデル化するか？

主な発見

• n-球面において、形式的プッシュフォワードによるMaurer-Cartan要素nは自明であり、したがってねじれは元のdIBL-構造を変化させない。
• Snにおけるグリーン核Gの計算が明示的に行われ、Ω(Sn)⊗2に属さないものの、形式的には適切に定義されていることが示された。
• 各三価リボングラフがM×k上での積分によりMaurer-Cartan要素nに与える寄与は、適切な符号と対称性因子を伴って計算された。
• リボングラフの評価における符号構造は、Koszulの符号と循環的対称性を用いて一貫して導出され、構成の形式的整合性が確認された。
• nによるねじれが多くの場合自明であることが示され、これは、コホモロジー上の標準的dIBL-構造が既にストリングトポロジー作用素を捉えている可能性を示唆する。
• Snにおける形式的計算は、グリーン核がde Rham複体に属さないにもかかわらず、ねじれたIBL∞-代数構造がChas-Sullivanのストリングトポロジーをモデル化するという予想を支持する。