[論文レビュー] Twisted K-Theory and TQFT

Ulrich Bunke, Ingo Schröder|ArXiv.org|Apr 22, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、滑らかなスタックとK理論の形式的性質を用いて、コンパクトなリー群Gが自身に内部自己同型作用する場合のねじれK理論のスタック的・幾何的証明を提供する。複素化されたねじれK理論が、表現環のイデアルによる商に同型であることを確立し、幾何的対応とK方向性を用いて、積、単位元、余形の明示的公式を持つ1+1次元TQFT構造を構成する。

ABSTRACT

The goal of the present paper is the calculation of the equivariant twisted K-theory of a compact Lie group which acts on itself by conjugations, and elements of a TQFT-structure on the twisted K-groups. These results are originally due to D.S.Freed, M.J.Hopkins and C.Teleman. In this paper we redo their calculations in the framework of topological and differentiable stacks. We also show how moduli spaces of flat connections on surfaces give rise to trivializations of twists.

研究の動機と目的

• コンパクトなリー群Gの内部自己同型作用におけるねじれG-等変K理論を、解析的手法を避けて、スタック的・幾何的証明で与えること。
• 平坦G接続のモジュライスタックを用いて、ねじれK理論上に1+1次元トポロジカル量子場理論（TQFT）構造を構築すること。
• 幾何的対応とK方向性を用いて、TQFTの演算（積、単位元、余形）の明示的公式を確立すること。
• 複素化されたねじれK理論が、表現環R(G)ℂ/Iの商に同型であることを示し、有限群表現への検出写像を用いること。
• 境界評価写像と曲面の貼り合わせにおける、自明化と方向性の役割を明確にすること。

提案手法

• 本稿は滑らかなスタックと局所的商スタックを用いて幾何的構成を形式化し、標準的な函手的性質を持つK理論関手の存在を仮定する。
• Φが幾何的引き戻しで、R!が対応に沿った押し出しであるとすると、ねじれK理論の要素は合成R!∘Φにより構成される。
• 重要な検出道具は、C. テレマンにインspiredされた埋め込みΘ: ねじれK理論 → 有限群の表現環であり、制限による要素の検出を可能にする。
• TQFT構造は、曲面上の平坦G接続のモジュライスタックを用いて構築され、境界評価写像と制限されたグラスマンニアン上の決定的線束によるねじれの自然な自明化が用いられる。
• 境界評価写像のK方向性は、リー代数の方向性を用いて構成され、貼り合わせにおける整合性はLeray-Serreスペクトル系列と引き戻し写像の全射性を用いて検証される。
• 積はスタックの対応により定義され、その結合性と単位元性は、特別なK方向性と貼り合わせによって誘導されるねじれの同型を用いて証明される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトなリー群Gの内部自己同型作用におけるねじれK理論を、滑らかなスタックと形式的K理論の性質のみを用いて、完全に幾何的にどのように計算できるか？
• RQ2 ねじれK理論の正確な代数的構造は、表現環上の加群としてどのようなものか？また、複素化された群環とどのように関係するか？
• RQ3 平坦接続のモジュライ空間とその境界写像を用いて、1+1次元TQFTをねじれK理論上に自然にどのように実現できるか？
• RQ4 K方向性とねじれの自明化は、貼り合わせにおける函手性と整合性を保証するために、どのように機能するか？
• RQ5 TQFTの積、単位元、余形は、幾何的対応とスタック的構成を用いて明示的に計算可能か？

主な発見

• Gの複素化されたねじれK理論は、表現環の関係によって生成されるイデアルIによる商R(G)ℂ/Iに同型である。
• ねじれK理論上のTQFTの積は可換かつ結合的であり、単位元Eはディスク対応から構成される。
• 単位元Eは、線束Vとの同型のもとで中心的荷重セクションcの逆元に同型である、すなわちE ≅ c⁻¹である。
• 積構造は、円筒上の評価写像qaと、貼り合わせによって誘導される同型rにより、合成(qa)!∘r*∘qi*として明示的に計算される。
• K方向性とねじれの同型を一貫して選ぶ限り、TQFTの演算が貼り合わせと整合することを保証する。
• この方法は、K理論を超えた他のねじれコホモロジー理論へ一般化可能であり、幾何的スタックと形式的K理論の性質のみに依存する。