[論文レビュー] Twisting Poisson algebras, coPoisson algebras and Quantization

Martin Bordemann, Olivier Elchinger+1 more|arXiv (Cornell University)|May 3, 2012

Advanced Topics in Algebra参考文献 26被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、ホモ・ポアソン双代数と双対的な構造としてホモ・コポアソン代数およびホモ・コポアソン双代数を導入し、古典的ポアソン・コポアソン双対性に類似した双対性を確立する。また、ホモ設定におけるスター積の量子化を一般化し、線形写像 α を用いた Moyal-Weyl 積の変形を特徴づけ、多項式のいくつかの変数におけるホモ結合的変形をもたらすのは、命題 4.9 に示される特定の準同型に限ることを示している。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to study twistings of Poisson algebras or bialgebras, coPoisson algebras or bialgebras and star-products. We con- sider Hom-algebraic structures generalizing classical algebraic structures by twisting the identities by a linear self map. We summarize the results on Hom-Poisson algebras and introduce Hom-coPoisson algebras and bialge- bras. We show that there exists a duality between Hom-Poisson bialgebras and Hom-coPoisson bialgebras. A relationship between enveloping Hom- algebras endowed with Hom-coPoisson structures and corresponding Hom- Lie bialgebra structures is studied. Moreover we set quantization problems and generalize the notion of star-product. In particular, we characterize the twists for the Moyal-Weyl product for polynomials of several variables.

研究の動機と目的

• ホモ代数の理論をコポアソンおよび双代数的構造へと拡張し、ポアソン代数とコポアソン代数の間の古典的双対性を一般化する。
• ホモ・ポアソン双代数とホモ・コポアソン双代数の間の双対性を確立し、古典的代数からの結果を一般化する。
• ホモ設定における量子化問題を定式化し、スター積の概念を一般化する。
• Moyal-Weyl スター積をホモ結合的スター積に変形する線形写像 α を特徴づける。
• α-変形が函手的であるかどうかを検討する。特に、ポアソン構造とスター積の間のコンツェビチの双対性との関係においてその可能性を検討する。

提案手法

• 線形自己写像 α を用いた古典的コポアソン構造の変形を通じて、ホモ・コポアソン代数およびホモ・コポアソン双代数を定義する。
• Moyal-Weyl 積を基本とし、形式的べき級数 t における係数を α で変形したホモ結合的スター積を定義する。
• Sweedler記法とホモ結合子を用いて変形条件を分析し、結合性を満たすためには t^n 項の係数が消える必要があることを要求する。
• 低次の多項式におけるホモ結合子の計算にコンピュータ代数（Mathematica）を適用し、α に対する制約を導出する。
• 1次および2次の場合を分析し、結合的変形をもたらす写像 α を特定し、命題 4.9 に到達する。
• 古典的構造（例：ポアソン代数）からホモ構造への函手的変形構成を提案し、コンツェビチの双対性と可換である可能性を検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの線形写像 α が、多項式代数上での Moyal-Weyl スター積をホモ結合的スター積に変形するか？
• RQ2 ホモ・ポアソン双代数とホモ・コポアソン双代数の間には、古典的双対性を一般化した双対性が存在するか？
• RQ3 ポアソン代数の量子化は、α-変形スター積を用いてホモ設定に一般化可能か？
• RQ4 Moyal-Weyl スター積の結合的変形をもたらす写像 α は一意的か、あるいは特定の代数的制約によって分類可能か？
• RQ5 α-変形構成は函手的であるか。特に、コンツェビチの双対性（ポアソン括弧とスター積の間）と関係してその可能性は？

主な発見

• ℝ[x,y] 上で Moyal-Weyl スター積のホモ結合的変形をもたらす唯一の線形写像 α は、命題 4.9 に示されるように、α(x) = (1/b₀₁)x + a₀₁y および α(y) = b₀₁y で表され、a₀₁ = 0 である。
• 1次の場合、ホモ結合子が消えるのは a₀₁ = 0 かつ b₀₁ = 0 のときであるが、b₀₁ ≠ 0 が要求されるため、結合的変形が得られるのは a₀₁ = 0 の場合に限る。
• 2次の場合、コンピュータ支援計算により、命題 4.9 に現れる写像 α のみが結合的スター積をもたらすという予想が裏付けられる。
• 変形スター積のホモ結合子が消えるのは、t^n 項の係数一致から導かれる特定の線形制約を満たす写像 α のときのみである。
• ホモ・ポアソン代数とホモ・コポアソン代数の双対性は、非ホモの場合と同一の構造的形をとるため、古典的双対性を一般化する。
• 本論文は、古典的代数的構造（例：ポアソン代数）からそのホモ類似構造への函手的変形構成を提案し、コンツェビチの双対性と相性が良い可能性を示唆する。