[論文レビュー] Twistings of KR for Real groupoids

El-kaïoum M. Moutuou|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、自己同型 $\tau$ を持つ実群コア（Real groupoids）に対して、実格付けされたDixmier-Douadyバンドル（B-fields）を用いてアティヤのKR理論のねじれを定義する。実格付けされたブラウアー群 $φ\widehat{\mathrm{BrR}}_\ast(\mathcal{G})$ を構成し、等変Čechコホモロジーと対応づけることで、オリエンティフォールドにB-fieldsを伴うD-braneの荷電を一般化するねじれKR理論の枠組みを確立する。

ABSTRACT

B-fields over a groupoid with involution are defined as Real graded Dixmier-Douady bundles. We use these to introduce the Real graded Brauer group which constitutes the set of twistings for Atiyah's KR-functor in the category of locally compact groupoids with involutions. We interpret this group in terms of groupoid extensions and elements of some equivariant Cech cohomology theory. The construction of the twisted KR-functor is outlined.

研究の動機と目的

• B-fieldsと自己同型を組み合わせることで、ねじれK理論を実群コアへ一般化すること。
• 実群コア上のB-fieldsとしての実格付けされたDixmier-Douadyバンドルを定義すること。
• アティヤのKR函手のねじれを分類するための実格付けブラウアー群 $\widehat{\mathrm{BrR}}_\ast(\mathcal{G})$ を構成すること。
• これらのねじれが群コアの拡大と等変Čechコホモロジーとどのように関係するかを明らかにすること。
• オリエンティフォールドおよび時間反転対称性を有する時空の文脈において、ねじれKR理論の幾何学的・代数的枠組みを提供すること。

提案手法

• 自己同型 $\tau$ を持ち $\tau^2 = \mathrm{id}$ を満たす群コアとして実群コアを定義し、実空間を一般化する。
• 実群コア上のB-fieldsの幾何的実現として実格付けされたDixmier-Douadyバンドルを導入する。
• このようなバンドルの同型類の集合として実格付けブラウアー群 $\widehat{\mathrm{BrR}}_\ast(\mathcal{G})$ を構成する。
• ねじれと実群コアの等変Čechコホモロジー理論の要素との間の対応関係を確立する。
• 非アーベル拡大と群コアの準同型を用いて、コンパクト作用素の可換な代数の実構造を分類する。
• 任意の $\mathcal{A} \in \widehat{\mathrm{BrR}}_\ast(\mathcal{G})$ に対してねじれKR理論 $KR^\ast_\mathcal{A}(\mathcal{G})$ を定義し、等変フレドホルム作用素および $\widehat{\mathrm{PU}}(\hat{\mathcal{H}})$ への一般化された準同型と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 B-fieldsと自己同型を伴う状況下で、ねじれKR理論を実群コアへどのように拡張できるか。
• RQ2 実群コアに可換な代数と自己同型を備えた場合のブラウアー群の適切な一般化は何か。
• RQ3 実群コアの拡大と等変コホモロジーは、KR理論のねじれをどのように分類するか。
• RQ4 群コア上に存在する実格付けDixmier-Douadyバンドルの幾何学的・代数的構造は何か。
• RQ5 オリエンティフォールド群コアにおけるねじれKR理論は、等変フレドホルム作用素および一般化された準同型とどのように関係するか。

主な発見

• 実格付けブラウアー群 $\widehat{\mathrm{BrR}}_\ast(\mathcal{G})$ は、局所コンパクトな実群コア上のアティヤのKR函手のねじれを分類する。
• ねじれは、実格付けDixmier-Douadyバンドルに同値であり、等変Čechコホモロジー類によって分類される。
• オリエンティフォールド群コア $X \rtimes G$ に対して、ねじれKR理論は $\widehat{\mathrm{PU}}(\hat{\mathcal{H}})_n$-等変写像空間 $[P^{(n)}/G, \hat{\mathscr{F}}^n]^{{\widehat{\mathrm{PU}}}(\hat{\mathcal{H}})_n}_R$ に同型であり、明確な幾何的モデルを提供する。
• 2を逆数にした $K^{-j}_\mathcal{A}(\mathcal{G}) \otimes \mathbb{Z}[1/2]$ におけるねじれ複素K理論は、$KR^{-j}_\mathcal{A}(\mathcal{G}) \oplus KR^{-j-2}_\mathcal{A}(\mathcal{G})$ に分解される。
• $\mathbf{S}^{0,1}$ に対しては $\widehat{\mathrm{BrR}}(\mathbf{S}^{0,1}) \cong \mathbb{Z}_2$ であり、ねじれKR理論群は $q-p-i \equiv 0 \mod 2$ のとき $\mathbb{Z}$、それ以外は 0 である。
• 実構造が自明な場合、この構成は通常のねじれ複素K理論を回復し、非固定成分 $\mathcal{G}_1$ に対して $\widehat{\mathrm{BrR}}_\ast(\mathcal{G}) \cong \widehat{\mathrm{Br}}_\ast(\mathcal{G}_1)$ が成り立つ。