[論文レビュー] Two Categories of Dirac Manifolds

Brett Milburn|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、一般化された複素幾何学において、ポisson、複素、シンプレクティック、および正則構造を統一する2つの異なる種類のディラック多様体—ディラック写像と双対ディラック写像—を導入する。主な貢献は、互いに適合するディラック構造を備えたリー群としてのディラック群および一般化された複素群の特徴付けであり、これによりポアソン群の一般化がなされ、コルタン・アダマールとB変換を用いた量子化の枠組みが提供される。

ABSTRACT

We define two categories of Dirac manifolds, i.e. manifolds with complex Dirac structures. The first notion of maps I call \emph{Dirac maps}, and the category of Dirac manifolds is seen to contain the categories of Poisson and complex manifolds as full subcategories. The second notion, \emph{dual-Dirac maps}, defines a \emph{dual-Dirac category} which contains presymplectic and complex manifolds as full subcategories. The dual-Dirac maps are stable under B-transformations. In particular we get two structures of a category on Hitchin'sgeneralized complex manifolds, i.e., two reasonable notions of generalized complex maps. We also generalize further to get categories of Dirac manifolds for which the Dirac structures lie in arbitrary exact Courant algebroids. As an example, we consider the case of a Lie group with a complex Dirac structure and establish conditions for which multiplication is a Dirac map.

研究の動機と目的

• ディラック写像と双対ディラック写像を用いて、ポアソン幾何学と複素幾何学を統一する2つの新しいディラック多様体のカテゴリーを定義すること。
• 互いに適合するディラック構造を備えたリー群としてのディラック群および一般化された複素群を導入することにより、ポアソン群を一般化すること。
• 群の乗法が、特に正確なコルタン・アダマール・アダマールの文脈において、ディラック写像または双対ディラック写像であるための条件を確立すること。
• B場とHフラックスを用いてねじれディラック構造へ理論を拡張し、ねじれポアソン群を一般化すること。
• 正確なコルタン・アダマール・アダマールとバーテックス代数の理論を通じて、アフィンリー代数の表現理論との関係を探索すること。

提案手法

• 一般化された複素構造を保存する射としてのディラック写像を定義し、ポアソン写像および正則写像を一般化する。
• B変換に関して安定で、シンプレクティック写像と複素写像を統合する双対ディラック写像を導入する。
• コルタン括弧と $\mathcal{V}_M = TM \oplus T^*M$ 上の一般化されたほぼ複素構造を用いて、整合性条件を定義する。
• リー代数的データに還元するため、$G$-不変なイデアル $E \subset \mathfrak{g}_{\mathbb{C}}$ とセクション $\varepsilon \in \Gamma(G, \wedge^2 \tilde{E})$ を用いてディラック群を特徴付ける。
• B変換を適用して、ディラック構造とねじれコルタン・アダマール・アダマールを関連させ、$\mu^*H = H \oplus H + dB$ を満たす条件を導出する。
• 左不変な自明化を用いて $\mathcal{V}_G$ の問題をリー代数のデータに還元し、$d_E\varepsilon = -H|_E$ を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポアソン幾何学と複素幾何学を統一するディラック多様体間の射を定義するための条件は何か？
• RQ2 一般化された複素幾何学において、ディラック群はポアソン群の一般化としてどのように特徴付けられるか？
• RQ3 B変換は双対ディラックカテゴリーを安定化させ、正確なコルタン・アダマール・アダマールに理論を拡張する上で果たす役割は何か？
• RQ4 Hフラックスを伴う文脈において、リー群の乗法写像が双対ディラック写像であるための条件は何か？
• RQ5 一般化された複素群は正則ポアソン群とどのように関係し、量子化においてどのような意義を持つのか？

主な発見

• ディラック写像は、ポアソン多様体と複素多様体の両方を完全に含むカテゴリーを形成し、これらの構造を統合する枠組みを提供する。
• 双対ディラック写像は、シンプレクティック多様体と複素多様体の両方を完全に含むカテゴリーを形成し、B変換に関して安定である。
• リー群 $G$ がディラック群であるための必要十分条件は、$G$-不変なイデアル $E \subset \mathfrak{g}_{\mathbb{C}}$、セクション $\varepsilon \in \Gamma(G, \wedge^2 \tilde{E})$、および特定の変換および整合性条件を満たす2形式 $B$ が存在することである。
• 一般化された複素群に関しては、構造 $D = L(E, \varepsilon)$ が $d_E\varepsilon = -H|_E$ のもとで整合的であり、このような群は正則ポアソン群と同値である。
• 群 $G$ が単純型である場合、唯一可能な $\varepsilon$ は0であり、$B$ は $\pi_1^*\omega \oplus \pi_2^*\omega$ の形をとり、$\omega|_E = 0$ を満たす必要がある。
• $\mu^*H = H \oplus H + dB$ という条件は、乗法が双対ディラックカテゴリーにおける射であることを保証し、整合性には $[\beta, \beta] = \beta_\sharp H$ が必要である。