[論文レビュー] Two congruences involving harmonic numbers with applications

Guo-Shuai Mao, Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2014

Advanced Mathematical Identities参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、素数 $ p > 3 $ を法として、調和数と中央二項係数を含む2つの新しい合同式を確立する。これらは $ 1/3 $ におけるベルヌーイ多項式と関連している。$ p $-進展開の性質と組み合わせ的恒等式を用いて、$ \frac{1}{p^2}\bigsum_{k=1}^{p-1} g_k $ および $ \frac{1}{p^2}\bigsum_{k=1}^{p-1} h_k $ を $ p $ を法として明示的な式で表す。ここで $ g_k $ と $ h_k $ は二項係数とカタラン数の積の和である。

ABSTRACT

The harmonic numbers $H_n=\sum_{03$ be a prime. With helps of some combinatorial identities, we establish the following two new congruences: $$\sum_{k=1}^{p-1}\frac{\binom{2k}k}kH_k\equiv\frac13\left(\frac p3 ight)B_{p-2}\left(\frac13 ight)\pmod{p}$$ and $$\sum_{k=1}^{p-1}\frac{\binom{2k}k}kH_{2k}\equiv\frac7{12}\left(\frac p3 ight)B_{p-2}\left(\frac13 ight)\pmod{p},$$ where $B_n(x)$ denotes the Bernoulli polynomial of degree $n$. As an application, we determine $\sum_{n=1}^{p-1}g_n$ and $\sum_{n=1}^{p-1}h_n$ modulo $p^3$, where $$g_n=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}k\quad\mbox{and}\quad h_n=\sum_{k=0}^n\binom nk^2C_k$$ with $C_k=\binom{2k}k/(k+1)$.

研究の動機と目的

• 素数 $ p > 3 $ に対して、$ \binom{2k}{k}/k $ で重み付けされた調和数 $ H_k $ と $ H_{2k} $ を含む2つの新しい合同式を、$ p $ を法として確立すること。
• これらの和がベルヌーイ多項式 $ B_{p-2}(1/3) $ と関連することを示し、非自明な算術的構造を明らかにすること。
• $ \bigsum_{k=1}^{p-1} g_k $ および $ \bigsum_{k=1}^{p-1} h_k $ を $ p^3 $ を法として計算するためにこれらの合同式を応用すること。ここで $ g_k $ と $ h_k $ はアペリーに類似する数列に関連する組み合わせ的数列である。
• 調和数と中央二項係数を含む和の $ p $-進的性質に関するより深い予想に対する証拠を提供すること。
• 既知のウォルステンホルム型合同式を、新しい組み合わせ的恒等式を用いて高次の項へと拡張すること。

提案手法

• 二項係数 $ \binom{2k}{k} $、調和数 $ H_k $、$ H_{2k} $ を含む組み合わせ的恒等式を用いて合同式を導出する。特に、二項係数の $ p $-進展開を活用する。
• $ (-1)^k \binom{p-1}{k} \not\to 1 - p H_k \bmod p^2 $ という恒等式を用い、$ k $ に関する和を調和数の和と関連付ける。
• $ \bigsum_{k=0}^{p-1} \binom{2k}{k} \bmod p^2 $ および $ \bigsum_{k=1}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}}{k} \bmod p^3 $ の既知の合同式を基盤とするツールとして用いる。
• $ g_k $ と $ h_k $ を $ \binom{n}{k}^2 $、$ \binom{2k}{k} $、カタラン数 $ C_k $ を含む二重和として表現し、和の順序を入れ替えることで $ k $ に依存する項を分離する。
• $ h_n = \bigint_0^1 g_n(x)\thinspace dx $ という積分表示を用い、$ g_n(x) = \bigsum_{j=0}^n \binom{n}{j}^2 \binom{2j}{j} x^j $ であるとし、$ h_k $ を $ g_k $-関連の母関数と関連付ける。
• $ \bigsum_{k=0}^{p-1} g_k(x)(1 - p^2 H_k^{(2)}) \bmod p^4 $ という恒等式を用い、$ \bigsum h_k $ および $ \bigsum g_k $ の $ p $-進展開を導出し、$ p $-進ゼータ値およびベルヌーイ数に関する既知の結果と組み合わせる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 素数 $ p > 3 $ に対して、$ \bigsum_{k=1}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}}{k} H_k \bmod p $ の $ p $-進的性質は何か？
• RQ2 $ \bigsum_{k=1}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}}{k} H_{2k} \bmod p $ は、ベルヌーイ多項式の特別な値を用いてどのように表現できるか？
• RQ3 $ g_k = \bigsum_{j=0}^k \binom{k}{j}^2 \binom{2j}{j} $ および $ h_k = \bigsum_{j=0}^k \binom{k}{j}^2 C_j $ であるとき、$ \bigsum_{k=1}^{p-1} g_k $ および $ \bigsum_{k=1}^{p-1} h_k $ を調和数の恒等式を用いて $ p^3 $ を法として評価できるか？
• RQ4 $ \bigsum_{k=1}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}}{k} (4H_{2k} - 7H_k) $ と高次のベルヌーイ数またはオイラー数との間に何の関係があるか？
• RQ5 $ g_n(x) $ の母関数およびその積分は、$ h_n $ の $ p $-進的構造とどのように関連するか？この関係を用いて $ p^3 $ を法とする合同式を導出できるか？

主な発見

• 本稿は、$ \bigsum_{k=1}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}}{k} H_k \bmod p $ が $ \frac{1}{3} \bigl( \frac{p}{3} \bigr) B_{p-2}\bigl( \frac{1}{3} \bigr) $ に合同であることを証明している。ここで $ B_{p-2}(x) $ はベルヌーイ多項式である。
• また、$ \bigsum_{k=1}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}}{k} H_{2k} \bmod p $ が $ \frac{7}{12} \bigl( \frac{p}{3} \bigr) B_{p-2}\bigl( \frac{1}{3} \bigr) $ に等しいことを確立しており、同じベルヌーイ多項式の特別な値と明確な算術的関係があることを示している。
• これらの合同式から、$ \frac{1}{p^2} \bigsum_{k=1}^{p-1} g_k \bmod p $ が $ \frac{5}{8} \bigl( \frac{p}{3} \bigr) B_{p-2}\bigl( \frac{1}{3} \bigr) $ に合同であることが導かれる。これは $ g_k $ の正規化された和に対する $ p $-進公式を提供する。
• $ \bigsum_{k=1}^{p-1} h_k \bmod p^3 $ が $ \frac{3}{4} p^2 \bigl( \frac{p}{3} \bigr) B_{p-2}\bigl( \frac{1}{3} \bigr) $ に合同であることが示され、$ p^2 $ を法とした既存の結果をより高い精度へと拡張している。
• 本稿は、$ \bigsum_{k=1}^{p-1} (2g_k - h_k) \bmod p^3 $ が $ \frac{1}{2} p^2 \bigl( \frac{p}{3} \bigr) B_{p-2}\bigl( \frac{1}{3} \bigr) $ に合同であることを確認しており、導出された公式の整合性を支持している。
• 著者らは、$ \bigsum_{k=1}^{p-1} h_k (1 - p^2 H_k^{(2)}) \bmod p^3 $ が 0 に合同であることを検証しており、$ h_k $-和の $ p $-進解析における予想的な構造を支持している。