[論文レビュー] Two-dimensional families of hyperelliptic jacobians with big monodromy

Yuri G. Zarhin|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、特性 ≠ 2 の体上のグローバル体上での、大きなモノドロミーと非自明な自己準同型をもたない明示的な2次元超楕円曲線ヤコビアンの族を構成する。異なるパラメータ $ t_1, t_2 \in K $ を選び、多項式 $ f(x) = (x - t_1)(x - t_2)u(x) $ がガロア群 $ \mathbf{S}_{2g} $ または $ \mathbf{A}_{2g} $ を持つようにすることで、ヤコビアン $ J(C_f) $ は $ \ell $-進テートモジュール上のガロア作用で最大の像を持ち、自己準同型環が自明になる。これにより、大きなモノドロミーと単純性が保証される。

ABSTRACT

Let $K$ be a global field of characteristic different from 2 and $u(x)\in K[x]$ be an irreducible polynomial of even degree $2g\ge 6$, whose Galois group over $K$ is either the full symmetric group $S_{2g}$ or the alternating group $A_{2g}$. We describe explicitly how to choose (infinitely many) pairs of distinct elements $t_1, t_2$ of $K$ such that the $g$-dimensional jacobian of a hyperelliptic curve $y^2=(x-t_1)(x-t_2))u(x)$ has no nontrivial endomorphisms over an algebraic closure of $K$ and has big $\ell$-adic monodromy.

研究の動機と目的

• 特性 ≠ 2 のグローバル体上での、大きなモノドロミーと非自明な自己準同型をもたない明示的な2次元超楕円ヤコビアンの族を構成すること。
• ヤコビアン $ y^2 = (x - t_1)(x - t_2)u(x) $ が自明な自己準同型環と $ \ell $-進テートモジュール上の最大ガロア像を持つようなパラメータ $ t_1, t_2 \in K $ の条件を同定すること。
• このようなヤコビアンが互いに非同型であり、すべての次元でタート予想およびホッジ予想を満たすことを証明すること。
• ヤコビアンの自己準同型群が正確に $ \{ \pm 1 \} $ であることを確立し、超楕円対合を除く非自明な自己準同型が存在しないことを排除すること。

提案手法

• 多項式 $ f(x) = (x - t_1)(x - t_2)u(x) $ を持つ超楕円曲線 $ C_f: y^2 = f(x) $ を構成する。ここで $ u(x) $ はガロア群が $ \mathbf{S}_{2g} $ または $ \mathbf{A}_{2g} $ であるような、次数 $ 2g \geq 6 $ の既約多項式である。
• ガロア理論的議論を用いて、ヤコビアンの $ \bar{K} $-同型が、分岐点を保存する $ \mathrm{PGL}_2(\bar{K}) $ 内の分数線形変換から生じることを示す。
• ヒルベルトの定理90を適用し、このような変換が $ K $ 上で定義されていない場合、ヤコビアンに非自明な自己準同型が存在することになり、$ \mathrm{End}(J(C_f)) $ の自明性に矛盾することを示す。
• ヤコビアンの唯一の自己準同型は $ \pm 1 $ であることを証明し、これは、変換が根の集合を集合として保存し、それに対して自明に作用する場合に限ることを意味する。
• トレイリの定理を用いて、ヤコビアンの同型を、分岐点への $ \mathrm{PGL}_2 $-作用を通じた元の超楕円曲線の同型に還元する。
• $ \ell $-torsion 点へのガロア作用を分析し、ガロア表現の像がシンプレクティックシミリチュード群において開集合であることを示し、これにより大きなモノドロミーが得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメータ $ t_1, t_2 \in K $ がどのような条件下で、$ y^2 = (x - t_1)(x - t_2)u(x) $ のヤコビアンが単純かつ自明な自己準同型環をもつのか。
• RQ2 このようなヤコビアンの $ \ell $-進テートモジュール上のガロア表現が、どのような条件下で大きなモノドロミーをもつのか。
• RQ3 異なる $ t_1, t_2 $ の選び方によって、自明な自己準同型環と大きなモノドロミーを持つ非同型のヤコビアンが得られるか。
• RQ4 自明性 $ \mathrm{End}(J(C_f)) $ が、このようなヤコビアン同士の $ \bar{K} $-同型の存在にどのような制約を課えるか。
• RQ5 これらのヤコビアンの自己積に対して、タート予想およびホッジ予想はどの程度まで成り立つか。

主な発見

• 無限個のペア $ (t_1, t_2) \in K \times K $ で $ t_1 \neq t_2 $ を満たすものに対して、$ y^2 = (x - t_1)(x - t_2)u(x) $ のヤコビアン $ J(C_f) $ は自明な自己準同型環 $ \mathrm{End}(J(C_f)) = \mathbb{Z} $ をもつ。
• ヤコビアンの $ \ell $-進テートモジュール上のガロア表現の像は、シンプレクティックシミリチュード群において開集合であり、これにより大きなモノドロミーが得られる。
• $ J(C_f) $ には非自明な $ \bar{K} $-自己準同型が存在せず、$ \mathrm{Aut}(J(C_f)) = \{ \pm 1 \} $ である。
• 異なるペア $ (t_1, t_2) $ に対応するヤコビアンは、$ \bar{K} $ 上で互いに非同型である。これは、分岐点を保存する $ \mathrm{PGL}_2(K) $-写像が存在しないことによる。
• すべての次元で、すべての自己積 $ J(C_f)^m $ に対してタート予想が成り立つ。すべてのタートクラスが除数クラスの線形結合で表されるからである。
• 特性0で複素埋め込みを持つ場合、すべての次元で、すべての自己積 $ J(C_f)^m $ に対してホッジ予想が成り立つ。