[論文レビュー] Two-Dimensional Models With (0,2) Supersymmetry: Perturbative Aspects

Edward Witten|ArXiv.org|Apr 8, 2005

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 11被引用数 48

ひとこと要約

この論文は、(0,2) スーパーシンメトリーのsigma モデルにおける摂動的性質を、そのチャーラル代数をチャーラル微分作用素（CDO）の数学的枠組みと結びつけることで調査する。CDO形式における正則データから、1ループのベータ関数とチャーラル異常が自然に導かれ、CDO構造に物理的解釈を与え、明示的なOPE計算を通じてCDOパラメータとWZWモデルのレベルとの間の正確な対応関係を確立する。

ABSTRACT

Certain perturbative aspects of two-dimensional sigma models with (0,2) supersymmetry are investigated. The main goal is to understand in physical terms how the mathematical theory of ``chiral differential operators'' is related to sigma models. In the process, we obtain, for example, an understanding of the one-loop beta function in terms of holomorphic data. A companion paper will study nonperturbative behavior of these theories.

研究の動機と目的

• チャーラル微分作用素（CDO）の(0,2) スーパーシンメトリーのsigma モデルにおける物理的解釈を理解すること。
• 摂動的量、たとえば1ループのベータ関数やチャーラル異常が、CDO形式における正則データからどのように生じるかを明確にすること。
• 明示的なOPE計算を通じて、CDOパラメータとWZWモデルのレベルとの間の対応関係を確立すること。
• CDOをsigma モデルにおける物理的実現として提供し、数学的構造と量子場理論を橋渡しすること。

提案手法

• スーパーシャージャーのコホロロジーをとることで、半ツイストされた(0,2) サイクルモデルを構築し、チャーラル代数構造を導く。
• 摂動的チャーラル代数を、標的多様体X上のチャーラル微分作用素（CDO）の層として特定する。
• 複素パラメータtを含む局所座標と遷移関数を用いた、複素多様体（例：S¹×S³）上のCDO構成を行う。
• 変形されたCDOフレームワークにおける電流演算子（GL(1)およびSL(2)）のOPEを導出し、それらのレベルをtの関数として計算する。
• OPEの結果を用いて、CDOパラメータtをWZWモデルのレベルkに結びつける：GL(1)電流のレベル = -t-1、SL(2)電流のレベル = t-1。
• 異常を明示的な摂動的計算で行い、CDO変形下での電流のシフトが正則的に分解可能であり、物理的に整合的であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 チャーラル微分作用素（CDO）は、(0,2) サイクルモデルの摂動的チャーラル代数からどのように生じるか？
• RQ2 量子場理論の観測量（たとえばベータ関数）の観点から、CDOパラメータtの物理的解釈は何か？
• RQ3 CDOフレームワークにおける電流演算子のOPEは、既知のWZWモデルのレベルをどのように再現するか？
• RQ4 1ループのベータ関数とチャーラル異常を、CDO形式における正則データから直接導出できるか？
• RQ5 CDOパラメータtと関連するWZWモデルのレベルkとの正確な関係は何か？

主な発見

• (0,2) モデルにおける1ループのベータ関数は、チャーラル微分作用素（CDO）構造に符号化された正則データによって完全に決定される。
• 変形されたCDOフレームワークにおけるGL(1)電流代数のレベルは -t-1 であり、tはCDO変形パラメータである。
• CDOフレームワークにおけるSL(2)電流代数のレベルは t-1 であり、k = t-1 のとき、対応するWZWモデルのレベルkと一致する。
• CDO変形はストレステンソルと中心指数c=4を保存し、WZWモデルの共形不変性と整合的である。
• ゲージ的シフトの正則的分解のおかげで、電流演算子はパッチをまたがっても常にグローバルに適切に定義される。
• S¹×S³のような標的空間では、Qコホロロジーに対するInstanton補正項は消えるため、特異的曲線が存在しない場合、摂動的CDO構造が正確に成立することが確認される。