[論文レビュー] Two dimensional neighborhoods of elliptic curves: formal classification and foliations

Frank Loray, Olivier Thom+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$C$ に接する形式的 foliationの束を用いて、ねじれ正規束をもつ楕円曲線 $C$ の2次元近傍の形式的分類を提示する。主な結果は、このような近傍が、一対の形式的 foliationのホロノミーによって完全に決定されることであり、各形式的モデルに対して、解析的同値類のモジュライ空間が無限次元であることが示されている。

ABSTRACT

We classify two dimensional neighborhoods of an elliptic curve C with torsion normal bundle, up to formal equivalence. The proof makes use of the existence of a pair (indeed a pencil) of formal foliations having C as a common leaf, and the fact that neighborhoods are completely determined by the holonomy of such a pair. We also discussanalytic equivalence and show, for each formal model, that the corresponding moduli space is infinite dimensional.

研究の動機と目的

• ねじれ正規束をもつ楕円曲線 $C$ の2次元近傍を形式的同値関係で分類すること。
• このような近傍の構造を決定する際のfoliationの役割を理解すること。
• 解析的分類を分析し、対応するモジュライ空間が無限次元であることを示すこと。
• ねじれの場合における線形化可能性の既知の結果を拡張すること、特に非ねじれの場合にダイオファントス条件が解析的線形化を支配するのとは対照的に。
• 二重foliated構造を通じて、ホロノミー表現、微分同相型局所写像、および近傍の幾何学との間の相互作用を調査すること。

提案手法

• 共通の葉として $C$ をもつ、$C$ に接する形式的foliationの束 $\hat{\mathcal{F}}_t$ の使用。
• 近傍がこのような一対のfoliationのホロノミーによって完全に決定されることを活用する。
• 1次元力学系の結果（Yoccoz, Pérez-Marco）を応用し、ホロノミー表現 $\pi_1(C) \to \mathrm{Diff}(\mathbb{C},0)$ を分析する。
• 不変量 $\lambda$ および $\Lambda$ でパラメトライズされた形式的モデル $U_{\lambda,\Lambda}$ を構成し、$k = \mathrm{utype}(U,C)$ が接する次数を制御することを示す。
• 次数 $k+1$ の多項式微分同相型局所写像 $\phi \in \mathrm{Diff}(\mathbb{C},0)$ を用いた共軸変換により、ホロノミーを次数 $k$ まで一致させる。
• 特に $q = 2,3,4,6$ の場合に、$\mathrm{Aut}(C)$ の作用が標準形に与える影響を分析し、対称性に起因する同値関係を記述する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ねじれ正規束をもつ楕円曲線の2次元近傍は、どのように形式的に分類できるか？
• RQ2 形式的foliationの束が、このような近傍の構造を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ3 形式的近傍がその線形モデルと解析的に同値であるための条件は何か？
• RQ4 このような近傍の解析的同値類のモジュライ空間の構造は何か？
• RQ5 楕円曲線 $C$ の基本群のホロノミー表現は、近傍の分類および変形とどのように関係するか？

主な発見

• ねじれ正規束をもつ近傍の形式的分類は、$C$ を共通の葉としてもつ一対の形式的foliationのホロノミーによって完全に決定される。
• 各形式的モデルに対して、Yoccozの手法を用いて任意のホロノミー表現を実現可能であるため、解析的同値類のモジュライ空間は無限次元であることが示された。
• 正規束がねじれであり、かつ両方のfoliation $\mathcal{F}_{t_1}, \mathcal{F}_{t_2}$ が収束的である場合、ホロノミー表現の独立した変形により、モジュライ空間を明示的に記述できる。
• $\mathrm{Aut}(C)$ の作用は、形式的モデル上で微分同相型局所写像を誘導し、特に $ (x,y) \mapsto (-x, \xi y) $、$ \xi^k = -1 $ で与えられる明示的な共軸写像により、Ueda型を保存する。
• 例外的な場合、$q = 3,4,6$ のとき、共軸写像はより複雑であるが、二重foliated手法を用いることで同値な標準形を記述可能である。
• 本稿では、形式的同値関係まで完全な分類を確立し、モノドロミー情報および形式的不変量 $\lambda, \Lambda$ でパラメトライズされた明示的標準形 $U(a_1,a_\tau,\lambda,\Lambda)$ を与えた。