[論文レビュー] Two-Loop Superstrings IV, The Cosmological Constant and Modular Forms

Eric D’Hoker, D. H. Phong|ArXiv.org|Nov 5, 2001

Particle physics theoretical and experimental studies参考文献 63被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ゲージスライスの独立性を用いて、GSO射影の位相選択により一意に定まる、2ループ超弦チラル測度の明示的でモジュラー不変なtheta定数表現を導出する。宇宙定数は、リーマンtheta関係ではなく、 genus 2 のモジュラー恒等式によって点ごとに消失する。これは、II型およびヘテロティック超弦理論における物理的期待と整合する。

ABSTRACT

The slice-independent gauge-fixed superstring chiral measure in genus 2 derived in the earlier papers of this series for each spin structure is evaluated explicitly in terms of theta-constants. The slice-independence allows an arbitrary choice of superghost insertion points q_1, q_2 in the explicit evaluation, and the most effective one turns out to be the split gauge defined by S_δ(q_1,q_2)=0. This results in expressions involving bilinear theta-constants M. The final formula in terms of only theta-constants follows from new identities between M and theta-constants which may be interesting in their own right. The action of the modular group Sp(4,Z) is worked out explicitly for the contribution of each spin structure to the superstring chiral measure. It is found that there is a unique choice of relative phases which insures the modular invariance of the full chiral superstring measure, and hence a unique way of implementing the GSO projection for even spin structure. The resulting cosmological constant vanishes, not by a Riemann identity, but rather by the genus 2 identity expressing any modular form of weight 8 as the square of a modular form of weight 4. The degeneration limits for the contribution of each spin structure are determined, and the divergences, before the GSO projection, are found to be the ones expected on physical grounds.

研究の動機と目的

• 2ループ超弦チラル測度の明示的でゲージスライスに依存しないtheta定数表現を導出すること。
• 全チラル測度のモジュラー不変性を保証するためのGSO射影の相対位相の一意な選択を特定すること。
• モジュラー恒等式を用いて、2ループにおける宇宙定数の消失を検証すること。
• チラル測度の退化極限を解析し、GSO射影前の期待される物理的特異点が現れるかを確認すること。
• Sp(4,Z) におけるチラル測度のモジュラー変換性を確立し、不変性を保証する一意な位相選択を同定すること。

提案手法

• genus 2における超弦チラル測度のゲージスライス独立性を活用し、任意のスーパーゴースト挿入点を許容する。
• 式 $ S_{\nu}(q_1,q_2) = 0 $ を用いたスプリットゲージ条件を適用し、二重theta定数 $ \tilde{\rm M} $ を含む表現に簡略化する。
• 二重theta定数 $ \tilde{\rm M} $ と標準theta定数の間の新規恒等式を用い、測度を純粋にtheta定数の関数として表現する。
• $ d\tilde{\rm \nu}[\nu](\tilde{\rm \nu}) $ の $ \mathrm{Sp}(4,\mathbb{Z}) $ におけるモジュラー変換則を導出し、$ \det(C\Omega + D)^{-5} $ に従って変換されることを示す。
• 全チラル測度のモジュラー不変性を保証する一意な位相選択 $ \eta_{\delta} = 1 $ を、すべての偶数スピン構造 $ \delta $ に対して同定する。
• theta関数および $ \Psi_{10} $ の漸近展開を用いて、分離および非分離チャネルにおける退化極限を解析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2ループ超弦チラル測度のtheta定数を用いた明示的表現は何か？
• RQ2 2ループにおいてGSO射影を一貫して実装し、モジュラー不変性を保証するにはどうすればよいか？
• RQ3 なぜ2ループにおける宇宙定数は消失するのか？その背後にあるモジュラー恒等式は何か？
• RQ4 GSO射影前のチラル測度に物理的特異点は現れるか？それらは場の理論の期待と一致するか？
• RQ5 リーマン面の退化極限におけるチラル測度の寄与はどのように振る舞うか？

主な発見

• チラル測度は $ d\mu[\delta](\Omega) = \frac{\vartheta^4[\delta](0,\Omega) \Xi_6[\delta](\Omega)}{16\pi^6 \Psi_{10}(\Omega)} \prod_{I\leq J} d\Omega_{IJ} $ として明示的に表現され、$ \Xi_6[\delta] $ はtheta定数のモジュラー重み6の組み合わせである。
• 全チラル超弦測度 $ d\mu(\Omega) = \sum_\delta d\mu[\delta](\Omega) $ は恒等的に消失するため、2ループにおける宇宙定数は点ごとに消失する。
• 宇宙定数の消失は、任意の重み8のモジュラー形式が重み4の形式の平方であるというgenus 2のモジュラー恒等式に起因する。リーマンtheta恒等式によるものではない。
• $ \delta_0 $ スピン構造（両方のトーラスでR）の退化極限は正則であり、特異点を示さない。これは期待通りである。
• 9つのNS-NSスピン構造は、分離退化において $ \tau^{-2} $ のタキオン極と $ \tau_2^{-1} $ の質量ゼロ極を示し、場の理論の期待と一致する。
• 非分離退化では、$ 1/q $ の特異点が $ B_2 $ サイクルに沿ったタキオンの伝播を示しており、$ \mu_2, \mu_4 $ における部分的GSO射影により $ q \to 0 $ でこの特異点が除去される。