[論文レビュー] Two papers which changed my life: Milnor's seminal work on flat manifolds and flat bundles

William M. Goldman|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 31被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ジョン・ミルナーの1958年および1977年の論文が平坦な多様体とアフィン構造に与えた基礎的影響を調査し、曲率、特性類、多様体上の幾何構造の理解をどのように再構築したかを明らかにする。平坦接続、オイラー特性、適切なアフィン変形が完全アフィン多様体において果たす役割に注目し、シンプレクティック幾何とミンコフスキー幾何を用いたマーガリス時空の明示的構成で結実する。

ABSTRACT

We survey developments arising from Milnor's 1958 paper, "On the existence of a connection with curvature zero" and his 1977 paper, "On fundamental groups of complete affinely flat manifolds".

研究の動機と目的

• ミルナーの1958年および1977年の論文が平坦な多様体およびアフィン構造の幾何学とトポロジーに与えた深い影響を調査すること。
• 平坦接続が存在する状況下での、平坦接続バンドルのトポロジカルな障害、特にオイラー特性が消える条件を特定すること。
• 非自明な基本群と適切なアフィン作用を持つ完全アフィン多様体の存在と構成を調査すること。
• 特性類、特にオイラー類が平坦バンドルおよびアフィン構造の分類に果たす役割を分析すること。
• フクシアン群の適切なアフィン変形をシンプレクティック幾何とローレンツ幾何を用いて明示的に構成し、クロイクド・プラーンで境界づけられた基本多面体を持つマーガリス時空に至ること。

提案手法

• チェーンのガウス＝ボンネの定理を用い、曲率形式と特性類（特にオイラー類）を、オイラー特性のような位相的不変量と関連付ける。
• 開発写像とホロノミー表現を用い、ファイバー積構成 $\xi_\rho = \tilde{M} \times_\rho \mathbb{R}^n$ を通じて多様体上へのアフィン構造を構成する。
• シンプレクティック幾何と $\mathsf{Sp}(4,\mathbb{R})$ がラグランジュ平面に作用することを用い、ミンコフスキー空間と $\mathsf{SL}(2,\mathbb{Z})$ のアフィン変形をモデル化する。
• ブロック上三角行列におけるシアーを用いて適切なアフィン作用を構成し、自己双対写像の空間にローレンツ構造を同定する。
• レベル2合同部分群 $\Gamma_0 \subset \mathsf{GL}(2,\mathbb{Z})$ を基盤として、$\mathsf{Sp}(4,\mathbb{Z})$ 内での適切なアフィン変形を構成する。
• チャレット＝ドラム＝ゴールドマンの主結果を適用し、マーガリス時空の構成においてクロイクド・プラーンで境界づけられた基本領域の適切性と有界性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲率とねじれのない平坦接続を持つ閉じたアスフェリカル多様体が非ゼロのオイラー特性を持つことは可能か？
• RQ2 オイラー類は、多様体上での平坦アフィン構造の存在を妨げる役割を果たすか？
• RQ3 $\mathsf{Aff}(\mathbb{R}^n)$ への基本群の表現が完全アフィン多様体を生じる条件は何か？
• RQ4 シンプレクティック幾何とローレンツ幾何を用いて、フクシアン群の適切なアフィン変形をどのように明示的に構成できるか？
• RQ5 $\mathsf{Sp}(4,\mathbb{Z})$ がシンプレクティックベクトル空間内のラグランジュ平面の空間に作用するとき、どのような幾何的構造が生じるか？

主な発見

• スミルの1976年の例は、$n > 2$ の偶数次元で非ゼロのねじれをもつ平坦接続が存在することを示しているが、それらはアスフェリカルでないため、非ゼロのオイラー特性を持つアスフェリカル平坦多様体の存在は未解決のまま残っている。
• 接続がねじれなしで曲率なしの場合、平坦接続を持つ多様体のオイラー特性は、チェーンのガウス＝ボンネの定理によりゼロになる。
• 適切なアフィン作用をもつ完全アフィン多様体が存在するための必要十分条件は、ホロノミー表現が適切な変形を許容することである。これはマーガリス時空の構成で示された。
• レベル2合同部分群 $\Gamma_0 \subset \mathsf{SL}(2,\mathbb{Z})$ の適切なアフィン変形が $\mathsf{Sp}(4,\mathbb{Z})$ 内で明示的に構成され、その結果得られる3次元多様体は genus 2 のハンドル体と同相である。
• $M^3 = \Gamma \backslash \mathsf{E}$ は、クロイクド・プラーンで境界づけられた基本領域をもつ完全アフィン多様体であり、そのカスプホロノミーは放物的であり、時空的断面における平行線分として反映される。
• ミンコフスキー空間 $\mathsf{E}$ は、自己双対写像 $L_0 \to L_0^*$ のグラフの空間として同定され、ローレンツベクトル空間 $\mathsf{V}$ のトロスとしての性質を持つ。この空間における平行移動は $\mathsf{Sp}(4,\mathbb{R})$ 内のシアーとして実現される。