[論文レビュー] Type A Distributions: Infinitely Divisible Distributions Related to Arcsine Density

Makoto Maejima, Víctor Pérez‐Abreu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2010

Random Matrices and Applications参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、余弦関数 cos(πt/2) を用いた Lévy プロセスに関する確率積分によって定義される、R^d 上の無限に可除な分布の新しいクラス、タイプ A 分布を導入する。主な貢献は、タイプ A 分布が、2つのアーサインに基づく変換 𝒜₁ および 𝒜₂ によって Lévy 測度の像として得られることを示したことである。これらの変換は同じ範囲を持ち、ジュレククラスを真の部分クラスとして含む。さらに、このクラスは確率積分写像によって一般化タイプ G 分布と関連付けられる。

ABSTRACT

Two transformations $\mathcal{A}_{1}$ and $\mathcal{A}_{2}$ of Lévy measures on $\mathbb{R}^{d}$ based on the arcsine density are studied and their relation to general Upsilon transformations is considered. The domains of definition of $\mathcal{A}_{1}$ and $\mathcal{A}_{2}$ are determined and it is shown that they have the same range. Infinitely divisible distributions on $\mathbb{R}^{d}$ with Lévy measures being in the common range are called type $A$ distributions and expressed as the law of a stochastic integral $\int_0^1\cos (2^{-1}πt)dX_t$ with respect to Lévy process $\{X_t\}$. \ This new class includes as a proper subclass the Jurek class of distributions. It is shown that generalized type $G$ distributions are the image of type $A$ distributions under a mapping defined by an appropriate stochastic integral. $\mathcal{A}_{2}$ is identified as an Upsilon transformation, while $\mathcal{A}_{1}$ is shown to be not.

研究の動機と目的

• R^d 上の新しい無限に可除な分布のクラス、すなわちアーサイン密度に基づくタイプ A 分布を定義し、特徴づけること。
• R^d 上の Lévy 測度に対して、アーサイン密度から導かれる2つの変換 𝒜₁ および 𝒜₂ を研究し、それらの定義域と値域を特定すること。
• 両変換の値域が同一であり、ジュレククラス U(R^d) を真の部分クラスとして含むことの証明。
• タイプ A 分布の確率積分表現として、Lévy プロセス Xₜ^(μ) に対して ∫₀¹ cos(πt/2) dXₜ^(μ) の分布として表されることを確立すること。
• 確率積分写像を用いて、タイプ A 分布と一般化タイプ G 分布との関係を調査すること。

提案手法

• アーサイン密度 a(x;s) = π⁻¹(s − x²)⁻¹/² （|x| < s¹/²）を用いて、R^d 上の Lévy 測度に対する2つの変換 𝒜₁ および 𝒜₂ を定義する。
• 𝒜₁ の定義域が ℳᴸ¹(R^d)、𝒜₂ の定義域が ℳᴸ²(R^d) であり、両者の値域が一致することを示す。
• タイプ A 分布は、𝒜₁ および 𝒜₂ の共通の値域に属する Lévy 測度を持つ無限に可除な分布の集合として定義される。
• タイプ A 分布を、Lévy プロセス Xₜ^(μ) に対して ∫₀¹ cos(πt/2) dXₜ^(μ) の分布として表現する。
• 𝒜₂ が Upsilon 変換であることを特定し、𝒜₁ がそうではないことを示す。
• 一般化タイプ G 分布のクラスが、確率積分写像 Φ_cos によるタイプ A 分布の像であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 R^d 上の Lévy 測度に対して定義される2つのアーサインに基づく変換 𝒜₁ および 𝒜₂ の定義域と値域は何か？
• RQ2 変換 𝒜₁ および 𝒜₂ は一般の Upsilon 変換フレームワークとどのように関係しているか？
• RQ3 R^d 上のタイプ A 分布の確率積分表現は何か？
• RQ4 タイプ A 分布のクラスはジュレククラス U(R^d) とどのように関係しているか？
• RQ5 タイプ A 分布と一般化タイプ G 分布との関係は何か？

主な発見

• 変換 𝒜₁ および 𝒜₂ は同じ値域 ℛ(𝒜ₖ) を持ち、それぞれの定義域は ℳᴸ¹(R^d) および ℳᴸ²(R^d) である。
• R^d 上のタイプ A 分布のクラスは、Lévy 測度が ℛ(𝒜ₖ) に属する無限に可除な分布の集合として定義され、∫₀¹ cos(πt/2) dXₜ^(μ) の確率積分表現によって特徴づけられる。
• クラス A(R^d) は Φ_cos(I(R^d)) に等しく、Φ_cos(μ) = ℒ(∫₀¹ cos(πt/2) dXₜ^(μ)) である。
• 一般化タイプ G 分布の Lévy 測度のクラスは、𝒜₁ による B(R^d) ∩ ℳᴸ¹(R^d) の像である。
• 変換 𝒜₂ は Upsilon 変換と特定されるが、𝒜₁ はそうではない。
• ℛ(𝒜ₖ) に属する Lévy 測度の明示的例が構成され、たとえば ν(dx) = 2⁻¹π⁻¹/² e⁻ˣ²/⁸ K₀(x²/8) 1_{(0,∞)}(x) dx は、特定の ρ ∈ ℳᴸ¹(R) に対して 𝒜₁(ρ) に対応する。