[論文レビュー] Type II blow up for the energy supercritical wave equation

Charles Collot|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2014

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、高次元における径対称性をもつエネルギー超臨界型波動方程式に対して、有限時間型 II 爆発解を構成する。その際に、スケール λ(t) を量子化された収縮スケールとして用い、ソリトン型のプロファイルに集中させる。爆発は離散的な速度集合で発生し、すべての下臨界ノルムは有界のまま保たれる。エネルギー臨界問題および非線形シュレーディンガー方程式の手法を波動方程式へと拡張する。

ABSTRACT

We consider the non linear focusing wave equation $\partial_{tt}u-\Delta u-u|u|^{p-1}=0$ in large dimensions and for radially symmetric data, in the energy supercritical zone for p large enough. We construct finite time blow up solutions that concentrate the soliton profile $u \sim \frac{1}{\lambda^{\frac{2}{p-1}}}Q (\frac{r} {\lambda})$, $Q$ being a special stationary state of the equation. The blow up is of type II i.e all norms below scaling remain bounded. The scale shrinks at quantized blow up rates: we exhibit a countable family of asymptotic behaviors near blow up time for the scale lambda. Our analysis adapts the robust energy method developed for the study of energy critical bubbles and the analogous result for the energy supercritical NLS problem. This work is also related to similar solutions for the non linear heat equation for which the existence was already known, but with some techniques that could not be adapted to the wave equation.

研究の動機と目的

• 非線形波動方程式のエネルギー超臨界的領域における型 II 爆発解の存在を確立すること。
• 爆発スケール λ(t) の漸近的挙動を分析し、離散的な量子化された爆発速度の族を同定すること。
• エネルギー臨界問題に用いられるエネルギー法をエネルギー超臨界型波動方程式へと拡張すること。
• スケーリング閾値以下のすべてのノルムが爆発過程において一様に有界であることを示すこと。
• 非線形熱方程式と波動方程式の超臨界的設定における既知の結果とのギャップを埋めること。

提案手法

• エネルギー臨界型波動方程式およびシュレーディンガー方程式に用いられる強固なエネルギー法を、エネルギー超臨界型波動方程式へと適応する。
• スケール λ(t) を用いて、ソリトン型プロファイル u ∼ λ^(-2/(p-1)) Q(r/λ) に集中する解を構成する。ここで Q は定常解である。
• 解析を簡素化し、原点付近の爆発ダイナミクスに注目するために径対称性を課す。
• スケール λ(t) の時間発展を分析し、爆発時刻近傍におけるその漸近的挙動を導出する。
• λ(t) の精密な漸近的解析を通じて、可能な爆発速度の可算集合を同定する。
• エネルギー推定とモジュレーション技法を用いて解を制御し、分散を防ぐ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元におけるエネルギー超臨界型波動方程式に対して、型 II 爆発解が存在可能か？
• RQ2 爆発スケール λ(t) が収縮する可能性がある漸近的速度は何か？
• RQ3 爆発過程中、すべての下臨界ノルムは有界のまま保たれるか？
• RQ4 エネルギー臨界問題に用いられるエネルギー法を、超臨界型波動方程式へと適応可能か？
• RQ5 非線形熱方程式における既知の結果と比較して、爆発挙動はどのように異なるか？

主な発見

• エネルギー超臨界型波動方程式に対して、高次元における径対称初期データをもつ有限時間型 II 爆発解が存在する。
• 爆発スケール λ(t) は離散的な量子化された速度で収縮し、可能な爆発ダイナミクスの可算族を示している。
• スケーリング閾値以下のすべてのノルムが爆発過程において一様に有界であり、型 II の性質が確認された。
• 解は、方程式の特別な定常解 Q(r/λ) に集中する。
• エネルギー法が、従来の熱方程式手法が直接適用できなかった超臨界領域における波動方程式へと成功裏に拡張された。
• 非線形熱方程式における既知の爆発解に対応する波動方程式の類似解が確立されたが、動的特徴が明確に異なる。