[論文レビュー] U-gravity : ${\mathbf{SL}(N)}$

Jeong-Hyuck Park, Yoonji Suh|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 98被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、N ≠ 4 のための特別線形群 SL(N) のために、次元 ½N(N−1) の拡張時空に拡張し、整合性を保つためにセクション条件を課すことにより、duality manifest な重力理論である SL(N) U-重力理論を構築する。この理論は、半共変微分および曲率を導入し、SL(N) ベクトル添え字を適切に対称化することで完全共変的になる。これにより、完全共変的なアインシュタイン方程式および作用が得られ、リーマン幾何と非リーマン幾何を統一的に記述する。N ≥ 5 の場合、(N−1) 次元および 3 次元の解がそれぞれ異なる形で得られる。

ABSTRACT

We construct a duality manifest gravitational theory for the special linear group, ${\mathbf{SL}(N)}$ with $N{ eq 4}$. The spacetime is formally extended, to have the dimension $ extstyle{\frac{1}{2}} N(N-1)$, yet is `gauged'. Consequently the theory is subject to a section condition. We introduce a semi-covariant derivative and a semi-covariant `Riemann' curvature, both of which can be completely covariantized after symmetrizing or contracting the ${\mathbf{SL}(N)}$ vector indices properly. Fully covariant scalar and `Ricci' curvatures then constitute the action and the `Einstein' equation of motion. For $N\geq 5$, the section condition admits duality inequivalent two solutions, one $(N-1)$-dimensional and the other three-dimensional. In each case, the theory can describe not only Riemannian but also non-Riemannian backgrounds.

研究の動機と目的

• SL(N) に対して N ≠ 4 の duality manifest な重力理論を構築すること。時空を ½N(N−1) 次元に拡張し、座標をゲージ化して物理的でない双対座標を除去する。
• 双対座標の幾何的整合性の欠如を解消するため、セクション条件を課すことにより物理的整合性を保ちながら、SL(N) duality 対称性を維持する。
• SL(N) ベクトル添え字の対称化により、半共変微分および曲率を完全共変的に定式化する。
• リーマン幾何と非リーマン幾何を、計量が退化している場合でさえも含めて、一つの枠組みで統一的に記述する。
• N ≥ 5 の場合、2 種類の非同値な方法でセクション条件を解き、(N−1) 次元および 3 次元のバックグラウンドに還元する。それぞれが異なる物理的解を有する。

提案手法

• 理論は次元 ½N(N−1) の拡張時空上で展開され、座標は SL(N) に従って変換され、物理的でない自由度を除去するためのセクション条件が課される。
• SL(N) に対して適切にベクトル添え字を対称化した後、共変的に変換する半共変微分が導入され、一般化されたリー微分および括弧と整合性を持つ。
• 半共変リーマン曲率が構成され、SL(N) 添え字の対称化と縮約を経て、完全に SL(N) 共変な曲率対象が得られる。
• 完全共変化されたリーマン曲率からスカラー曲率および「リッチ曲率」が導出され、作用および運動方程式のアインシュタイン方程式の基礎がなされる。
• U-計量 M^{ab} が対称的 SL(N) 張り子として導入され、その逆行列が作用および宇宙定数項を定義するために用いられる。N ≥ 5 の場合、退化した状況が明示的に分析される。
• 2 種類の非同値な方法でセクション条件を解くことにより、(N−1) 次元および 3 次元のバックグラウンドへの還元が達成され、それぞれが完全な SL(N) 構造を保持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 N ≠ 4 の SL(N) に対して、物理的整合性を保ちながら時空を拡張する duality manifest な重力理論をどのように一貫して構築できるか？
• RQ2 セクション条件は、拡張時空における SL(N) 共変性を保ちつつ、物理的でない双対座標をどのように排除するか？
• RQ3 SL(N) ベクトル添え字の対称化により、半共変微分および曲率をどのように完全共変的に定式化できるか？
• RQ4 U-計量が退化した場合、特にリーマン計量でパrametrize できない局所的状況において、理論が非リーマン幾何に与える影響は何か？
• RQ5 N ≥ 5 の場合、セクション条件の 2 種類の非同値な解が、それぞれ (N−1) 次元および 3 次元の物理的理論をどのように導くか？

主な発見

• 理論は、N ≠ 4 の SL(N) に対して、次元 ½N(N−1) の拡張時空とセクション条件を用いて、duality manifest な重力作用を一貫して構築した。
• N ≥ 5 の場合、セクション条件は 2 種類の非同値な解を持つ。1 つは (N−1) 次元の時空に還元され、もう 1 つは 3 次元の時空に還元され、それぞれが完全な SL(N) 構造を保持する。
• SL(N) ベクトル添え字の対称化により、半共変微分およびリーマン曲率が完全に共変化され、一貫した幾何的定式化が可能になった。
• 理論はリーマン幾何と非リーマン幾何の両方を記述でき、計量が退化している場合でさえも、リーマン幾何的解釈ができない状況を含む。
• 宇宙定数項は ∫ M^{1/(4−N)} Λ dV の形で自然に組み込まれており、リーマン極限では指数型スカラー・ポテンシャルに対応し、宇宙定数問題に対する新たな視点を提供する。
• N = 11 の場合、理論は質量のある IIA スーパーバーチャル重力の SL(11) U-duality manifest な再定式化の候補を提供する。十形式のフラックスが宇宙定数に対応し、E₁₁ 統一枠組みへの道筋を示唆する。