[論文レビュー] Unbiased deep solvers for parametric PDEs

Marc Sabaté Vidales, David Šiška+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2018

Model Reduction and Neural Networks参考文献 46被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、パラメトリックPDEの不偏なディープラーニングソルバーを提案する。この手法は、同時に解とその勾配を近似可能であり、マルチンゲール表現定理を用いたモンテカルロ積分と組み合わせることで、バイアスのないデリバティブ価格評価を実現する。ネットワークの品質に強く依存せず、100次元に達するような高次元問題に対しても有効であり、事前の仮定を最小限に抑えたブラックボックスソルバーとして機能する。

ABSTRACT

We develop several deep learning algorithms for approximating families of parametric PDE solutions. The proposed algorithms approximate solutions together with their gradients, which in the context of mathematical finance means that the derivative prices and hedging strategies are computed simulatenously. Having approximated the gradient of the solution one can combine it with a Monte-Carlo simulation to remove the bias in the deep network approximation of the PDE solution (derivative price). This is achieved by leveraging the Martingale Representation Theorem and combining the Monte Carlo simulation with the neural network. The resulting algorithm is robust with respect to quality of the neural network approximation and consequently can be used as a black-box in case only limited a priori information about the underlying problem is available. We believe this is important as neural network based algorithms often require fair amount of tuning to produce satisfactory results. The methods are empirically shown to work for high-dimensional problems (e.g. 100 dimensions). We provide diagnostics that shed light on appropriate network architectures.

研究の動機と目的

• パラメトリックPDEの解の族を高精度かつロバストに近似するディープラーニングアルゴリズムの開発。
• 数学的ファイナンスにおけるデリバティブ価格とヘッジ戦略の直接計算を可能にするために、解の値とその勾配を同時に計算すること。
• モンテカルロシミュレーションとマルチンゲール表現定理を用いて、PDE解の近似におけるバイアスを排除すること。
• 事前の知識が限られていても、あるいはネットワークアーキテクチャが最適でない場合でも信頼性が保証されるブラックボックスソルバーの構築。
• 高次元PDE問題における適切なニューラルネットワークアーキテクチャの選定を評価・診断するためのツールの提供。

提案手法

• 本手法は、特に高次元設定において、パラメトリックPDEの解とその勾配を近似するためのディープニューラルネットワークを用いる。
• ネットワークから得られる勾配情報を活用し、モンテカルロシミュレーションにおける制御変数（control variate）を構築することで、解の推定値のバイアスを低減する。
• マルチンゲール表現定理を適用することで、補正項が真のマルチンゲールであることを保証し、PDE解の不偏推定を可能にする。
• アルゴリズムはニューラルネットワークの近似とモンテカルロサンプリングを組み合わせ、ネットワークの訓練が不十分であっても解の不偏推定量を生成する。
• 本手法は、ハイパーパrameterチューニングの最小限化を想定しており、既存のディープラーニングパイプラインに即座に統合可能なプラグアンドプレイ型である。
• 特定のPDE問題に適したネットワークアーキテクチャの選定を支援する診断ツールを導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ディープニューラルネットワークを用いて、パラメトリックPDEの解と勾配を同時に近似することで、不偏な解推定が可能になるか？
• RQ2 マルチンゲール表現定理をディープラーニングと統合することで、PDE解近似におけるバイアスをどのように是正できるか？
• RQ3 ニューラルネットワークの近似が不正確または最適でない場合、本手法のロバストネスはどの程度維持されるか？
• RQ4 高次元パラメトリックPDEに最も適したネットワークアーキテクチャは何か、そしてそれらをどのように診断できるか？
• RQ5 本手法は、問題の詳細を事前にほとんど知らない状況でも、実用的応用においてブラックボックスソルバーとして利用可能か？

主な発見

• 提案手法は、ニューラルネットワークの近似とモンテカルロシミュレーション、およびマルチンゲール表現定理を組み合わせることで、PDE解の不偏推定を達成した。
• ネットワーク近似が不十分であっても、本アルゴリズムはロバストであり、顕著にハイパーパrameterチューニングの必要性が低下した。
• 実験的に、100次元までの空間次元を持つ高次元問題に対しても、本手法が有効に機能することが確認された。
• 解と勾配の同時近似により、金融分野の応用においてデリバティブ価格とヘッジ戦略を直接計算可能となった。
• 特定のパラメトリックPDEに適したネットワークアーキテクチャの選定を支援する診断ツールが開発され、実用的なインサイトを提供した。
• 本手法は信頼性の高いブラックボックスソルバーとして機能し、事前の情報が限られた実世界のシナリオへの適用に適している。