[論文レビュー] Uniform existence of the integrated density of states for combinatorial and metric graphs over Z^d

Michael J. Gruber, Daniel Lenz+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2007

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 34被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ℤ^d 上の組合せ的・測度的グラフにおける確率的ポテンシャル、境界条件、計量を伴う確率的シュレーディンガー作用素に対して、統合密度状態（IDS）の一様存在性を確立する。バナッハ空間値のエルゴード定理を用いて、有限体積における固有値数関数がエネルギーに関して一様にIDSに収束することを証明し、IDSはシュビン＝パスタールのトレース公式によって特徴付けられ、コンパクトに台を持つ固有関数をもつエネルギーにおいてのみ不連続性を示す。

ABSTRACT

We give an overview and extension of recent results on ergodic random Schrödinger operators for models on $\mathbb{Z}^d$. The operators we consider are defined on combinatorial or metric graphs, with random potentials, random boundary conditions and random metrics taking values in a finite set. We show that normalized finite volume eigenvalue counting functions converge to a limit uniformly in the energy variable, at least locally. This limit, the integrated density of states (IDS), can be expressed by a closed Shubin-Pastur type trace formula. The set of points of increase of the IDS supports the spectrum and its points of discontinuity are characterized by existence of compactly supported eigenfunctions. This applies to several examples, including various periodic operators and percolation models.

研究の動機と目的

• ℤ^d 上の組合せ的・測度的グラフにおける確率的シュレーディンガー作用素に対して、統合密度状態（IDS）の一様存在性を確立すること。
• グラフパターンにおけるバナッハ空間値関数へのエルゴード定理フレームワークを拡張し、幾何的およびポテンシャル的ランダムネスを扱うこと。
• IDSの不連続点をコンパクトに台を持つ固有関数の観点から特徴付けること。
• 周期的・非周期的・パーコレーション的モデルを統一的に取り扱う1つの解析的枠組みに統合すること。
• シュビン＝パスタール型の表現を用いてIDSの閉形式のトレース公式を導出すること。

提案手法

• 文献[LMV]におけるバナッハ空間値のエルゴード定理を、ℤ^d の有限部分グラフ上の固有値数関数に適応すること。
• 有限の局所的複雑性を保証するため、ℤ^d の色分けを定義し、局所的な幾何的・ポテンシャル的構成を分類すること。
• エルゴード定理を適用して、正規化された有限体積固有値数関数のエネルギーに関する一様収束を示すこと。
• スペクトル平均化とトレースクラス性質を用いて、IDSのシュビン＝パスタール型トレース公式を導出すること。
• コンパクトに台を持つ固有関数の存在を用いてIDSの台を分析し、不連続性と局所的幾何的特徴の間の関係を確立すること。
• 組合せ的グラフおよび測度的グラフから、ランダムな辺長を伴う測度的グラフへと結果を拡張し、新たな収束結果を導入すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的幾何構造を伴うℤ^d グラフにおける正規化された有限体積固有値数関数が、エネルギーに関して一様に統合密度状態（IDS）に収束するための条件は何か？
• RQ2 IDSの不連続性は、確率的グラフモデルにおけるコンパクトに台を持つ固有関数の存在とどのように関係しているか？
• RQ3 組合せ的・測度的グラフにおけるℤ^d 上の確率的シュレーディンガー作用素に対して、IDSの統一的トレース公式を導出可能か？
• RQ4 幾何的ランダムネス（例えば、ランダムな辺長や境界条件）は、IDSに不連続性を引き起こす程度はどの程度か？
• RQ5 エルゴード定理フレームワークは、無限の局所的複雑性や非可換群作用を伴うモデルへと拡張可能か？

主な発見

• 確率的ポテンシャル、境界条件、計量を伴うℤ^d 上の組合せ的・測度的グラフにおける確率的シュレーディンガー作用素に対し、統合密度状態（IDS）はエネルギーに関して一様に存在する。
• IDSは、トレースクラス平均化を通じて作用素のスペクトル的性質と関連する、閉形式のシュビン＝パスタール型トレース公式によって与えられる。
• IDSの不連続性は、コンパクトに台を持つ固有関数をもつエネルギーにおいてのみ発生し、局所的幾何とスペクトル的特異性の直接的な関係を確立する。
• 不連続性が幾何的ランダムネスに起因する限り、有限体積固有値数関数のIDSへの一様収束は成立する。
• 結果は、周期的・非周期的・パーコレーション型作用素を含む広範なモデルクラスに適用可能であり、これまで別個に取り扱われてきたケースを統一的に扱う。
• 本手法は誤差推定を提供し、収束の例外的零集合を制御でき、収束が至る所で成立する最小的・一意的エルゴード系への応用を示唆する。