[論文レビュー] Uniformly equicontinuous sets, right multiplier topology, and continuity of convolution

Matthias Neufang, Jan Pachl+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2012

Advanced Operator Algebra Research参考文献 8被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、局所コンパクト群において、有限Radon測度の空間上のUEB位相が右乗算子位相と一致することを確立し、畳み込み連続性を統一的枠組みで研究するための基盤を提供する。局所コンパクトSIN群において、有界な左一様連続関数の双対空間の有界集合上で、畳み込みが jointly UEB 継続的であることを示しており、因子分解技法と位相群論を用いている。

ABSTRACT

The dual space of the C*-algebra of bounded uniformly continuous functions on a uniform space carries several natural topologies. One of these is the topology of uniform convergence on bounded uniformly equicontinuous sets, or the UEB topology for short. In the particular case of a topological group and its right uniformity, the UEB topology plays a significant role in the continuity of convolution. In this paper we derive a useful characterisation of bounded uniformly equicontinuous sets on locally compact groups. Then we demonstrate that for every locally compact group G the UEB topology on the space of finite Radon measures on G coincides with the right multiplier topology. In this sense the UEB topology is a generalisation to arbitrary topological groups of the multiplier topology for locally compact groups. In the final section we prove results about UEB continuity of convolution.

研究の動機と目的

• 局所コンパクト群における有界な一様等連続集合を特徴付けること。
• 局所コンパクト群に対して、M(G) 上のUEB位相が右乗算子位相と一致することを示すこと。
• 局所コンパクトSIN群に対して、LUC(G)* の有界集合上で畳み込みの jointly UEB 継続性を確立すること。
• 因子分解定理を用いて、局所コンパクトでない設定への畳み込み連続性の理解を拡張すること。
• 有界性またはSIN構造が欠如する場合に、jointly UEB 継続性が成立しないことを示す反例を提供すること。

提案手法

• LUC(G) における有界かつ一様等連続集合上で一様収束を定義するUEB位相を用いる。
• Cohenの因子分解定理およびNeufangの因子分解結果を適用し、L1(G) 内の関数およびそれらが LUC(G)* 上に作用する様子を分解する。
• 左および右平行移動とハール測度の性質を用いて、局所コンパクトSIN群における等連続集合を特徴付ける。
• L1(G) が LUC(G)* で弱*-稠密であること、および左からの畳み込みが弱*-連続であることを利用する。
• SIN群における中心的関数の有界近似恒等元を構成するために、ZL1(G) を用いる。
• f = g ⋆ h と因子分解し、h ∈ ZL1(G) であることを利用することで、f ⋆ (mα ⋆ nα) が norm 収束して f ⋆ (m ⋆ n) に収束することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての局所コンパクト群に対して、M(G) 上のUEB位相は右乗算子位相と一致するか？
• RQ2 局所コンパクトSIN群に対して、LUC(G)* の有界集合上で畳み込みは jointly UEB 継続的か？
• RQ3 UEB位相を用いて、非局所コンパクト位相群における畳み込み連続性を特徴づけられるか？
• RQ4 群 G に対して、畳み込みが有界集合上で jointly UEB 継続的であるために必要な最小の位相的条件は何か？
• RQ5 有界性とSIN条件の両方が欠落する場合に、jointly UEB 継続性が失敗する反例は存在するか？

主な発見

• 任意の局所コンパクト群 G に対して、M(G) 上のUEB位相は右乗算子位相と一致する。
• 任意の局所コンパクトSIN群 G に対して、LUC(G)* の有界集合上で畳み込みは jointly UEB 継続的である。
• UEB位相と LUC(G)-弱位相は、M(G) 内の正の錐、ノルム球、および LUC(G)-弱コンパクト集合で一致する。
• 一般に、SINでない群では jointly UEB 継続性は成立しない：[0,3] 上の増加同相写像を用いた右不変距離を持つ群を用いた反例が構成された。
• 反例において、net {yj} が y に UEB 収束するが、m0 ⋆ yj は LUC(G)-弱位相で m0 ⋆ y に収束しないことから、joint 連続性の不成立が示された。
• SIN群における jointly UEB 継続性の証明は、f ∈ L1(G) を g ⋆ h と因子分解し、h ∈ ZL1(G) であることと、g ⋆ mα および h ⋆ nα のノルム収束を利用する。