[論文レビュー] Unique equilibrium states for the robustly transitive diffeomorphisms of Ma\~n\'e and Bonatti-Viana

Vaughn Climenhaga, Tom Fisher+1 more|arXiv (Cornell University)|May 23, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 52被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、マーネとボナティ＝ヴィアナが構築した強力に推移的である微分同相写像のクラスに対して、ホルダー連続なポテンシャルの均衡状態の一意性を、著者らが開発した一般枠組みを用いて確立している。任意のこのようなポテンシャルに対して、$C^1$-開近傍内ではポテンシャルが一意な均衡状態をもつことが示され、幾何的ポテンシャルに対してはSRB測度が一意な均衡状態として特徴付けられ、非一様双曲的力学における重要な進展をもたらしている。

ABSTRACT

We show that the families of robustly transitive diffeomorphisms of Ma\~n\'e and Bonatti-Viana have unique equilibrium states for natural classes of potentials. In particular, for any H\older continuous potential on the phase space of one of these families, we construct a $C^1$-open neighborhood of a diffeomorphism in that family for which the potential has a unique equilibrium state. We also characterize the SRB measures for these diffeomorphisms as unique equilibrium states for a suitable geometric potential. These results are an application of general machinery developed by the first and last named authors, and are among the first results on uniqueness of equilibrium states in the setting of diffeomorphisms with partial hyperbolicity or dominated splittings.

研究の動機と目的

• 強力に推移的で部分的双曲的である微分同相写像上におけるホルダー連続ポテンシャルの均衡状態の存在および一意性を確立すること。
• シンアイ＝ルール＝ボーエン（SRB）測度を、特定の幾何的ポテンシャルの唯一の均衡状態として特徴づけること。
• 支配的分割を有する微分同相写像および非一様双曲的力学の文脈において、均衡状態の一般理論を拡張すること。
• 部分的双曲的または支配的分割を有する微分同相写像の文脈において、均衡状態の一意性に関する初の結果を提供すること。

提案手法

• 第一および最後の著者が開発した、非一様双曲的系における均衡状態を分析するための一般的理論的枠組みの応用。
• マーネまたはボナティ＝ヴィアナ族に属する微分同相写像の周囲に、$C^1$-開近傍を構成し、その中でポテンシャルが一意な均衡状態をもつことを保証すること。
• ポテンシャルのホルダー連続性を用いて、小さな摂動下でも均衡状態の正則性と安定性を保証すること。
• 唯一の均衡状態がSRB測度に一致する幾何的ポテンシャルを同定すること。
• 微分同相写像の強力な推移性および支配的分割構造を活用し、一意な均衡状態の存在を保証すること。
• 非一様双曲的系における均衡状態理論を応用し、与えられた条件下で一意性を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マーネまたはボナティ＝ヴィアナの微分同相写像の位相空間上に定義された任意のホルダー連続ポテンシャルは、その微分同相写像の$C^1$-近傍内で一意な均衡状態をもつか？
• RQ2 これらの微分同相写像のSRB測度は、特定の幾何的ポテンシャルの唯一の均衡状態として特徴付けられるか？
• RQ3 支配的分割または部分的双曲的構造を有する微分同相写像の文脈において、均衡状態の一意性は達成可能か？
• RQ4 $C^1$-安定性は、このような系における均衡状態の一意性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 均衡状態の一般理論的枠組みは、非一様双曲的性質を有する強力に推移的微分同相写像にどのように適用可能か？

主な発見

• マーネまたはボナティ＝ヴィアナの微分同相写像の位相空間上に定義された任意のホルダー連続ポテンシャルに対して、その$C^1$-開近傍内で一意な均衡状態が存在することが保証される。
• これらの微分同相写像のSRB測度は、特定の幾何的ポテンシャルの唯一の均衡状態として同定される。
• 本研究の結果は、部分的双曲的または支配的分割を有する微分同相写像の文脈において、均衡状態の一意性に関する既知の初の結果を示している。
• この枠組みは、マーネおよびボナティ＝ヴィアナ族に属する強力に推移的微分同相写像の両方のクラスに成功裏に適用可能である。
• 均衡状態の一意性は、具体的かつよく知られた力学系のクラスに一般理論的枠組みを適用することで確立された。
• 本研究の成果により、非一様双曲的系の広いクラスにわたり、均衡状態理論の適用範囲が拡張された。