[論文レビュー] Unique Games with Entangled Provers are Easy

Julia Kempe, Oded Regev+1 more|ArXiv.org|Oct 2, 2007

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 35被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、もつれを共有する証明者を用いた一意ゲームが、半定値計画法を用いて効率的に近似可能であることを示しており、量子版の一意ゲーム予想に反する。著者らは、SDPの解を量子戦略に変換するための新規な量子ラウンディング技術を導入し、もつれが古典的に難しいと信じられていた問題クラスを著しく簡略化することを証明した。

ABSTRACT

We consider one-round games between a classical verifier and two provers who share entanglement. We show that when the constraints enforced by the verifier are `unique' constraints (i.e., permutations), the value of the game can be well approximated by a semidefinite program. Essentially the only algorithm known previously was for the special case of binary answers, as follows from the work of Tsirelson in 1980. Among other things, our result implies that the variant of the unique games conjecture where we allow the provers to share entanglement is false. Our proof is based on a novel `quantum rounding technique', showing how to take a solution to an SDP and transform it to a strategy for entangled provers. Using our approximation by a semidefinite program we also show a parallel repetition theorem for unique entangled games.

研究の動機と目的

• 証明者がもつれを共有する場合の一意ゲームの計算複雑性を調査し、量子版の一意ゲーム予想に挑戦すること。
• 半定値計画法を用いて一意ゲームの量子値を近似する手法を開発すること。
• もつれが一意ゲームの難易度を低下させることを確立し、古典的複雑性の予想とは対照的にすること。
• 新規なSDP近似を用いて、もつれを共有する証明者を用いた一意ゲームの並列反復定理を証明すること。

提案手法

• 著者らは、状態ノルムと内積に関する制約を組み込んだ、一意ゲームの量子値を緩和する新規な半定値計画法（SDP 3）を導入した。
• SDPの解をもつれ証明者の有効な量子戦略に写像するための量子ラウンディング技術を設計した。
• 置換に基づく受容条件の構造を活用し、成功確率をSDPの妥当性と内積の類縁度の観点から評価した。
• 三角不等式とノルム不等式に依存して、異なる戦略構築法における成功確率の差の上限を求める証明を実施した。
• 重要な技術的ステップとして、積ゲームのSDPがテンソル積SDPの緩和であることを示し、並列反復解析を可能にした。
• 著者らは定理5.5を適用して、テンソル積SDPの値が個々のSDP値の積に等しいことを示し、指数関数的減衰の境界を得た。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 証明者がもつれを共有する場合、一意ゲームの量子値は効率的に近似可能か？
• RQ2 もつれの存在が、量子版の一意ゲーム予想を無効にすることはあるか？
• RQ3 一意ゲームの量子値をタイトに束縛する半定値計画法を構築可能か？
• RQ4 もつれを共有する証明者を用いた一意ゲームに対して、古典的並列反復の量子版が存在するか？
• RQ5 もつれゲームの文脈において、量子ラウンディングは古典的ラウンディングとどのように異なるか？

主な発見

• もつれを共有する証明者を用いた一意ゲームの量子値は、半定値計画法を用いて、加法的誤差O(√ε)の範囲で近似可能であり、ここでεは完全満足からの逸脱である。
• 量子版の一意ゲーム予想は誤りである。もつれを共有する証明者たちは、古典的値が1から離れている場合でも高い成功確率を達成できる。
• 並列反復定理が確立された：m回繰り返しのゲームの値は、(1 - ε²/16)^mの指数関数的減衰を示す。ここでεは単一ゲームの値からの逆ギャップである。
• SDP緩和（SDP 3）は厳密に妥当であり、その値はわずかな誤差の範囲で量子値と一致するため、効率的な近似が可能である。
• 量子ラウンディング技術は、SDPの解を有効な量子戦略に成功裏に変換でき、成功確率は基礎となる状態ベクトルの類縁度によって上限が与えられる。
• 2つのゲームのSDP解のテンソル積は、それらの積ゲームのSDPの妥当解であるため、繰り返しゲームにおいて一貫性が保証される。