[論文レビュー] Uniqueness for inverse boundary value problems by Dirichlet-to -Neumann map on subboundaries

Oleg Imanuvilov, Masahiro Yamamoto|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2013

Numerical methods in inverse problems参考文献 43被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、境界の部分集合に制限されたDirichlet-to-Neumann写像を用いて、2次元および3次元における逆境界値問題の解の一意性を確立する。著者らは、Carleman推定を用いて構築された複素幾何学的オプティクス解を用い、測定領域と非アクセス境界の和集合の閉包が全境界を覆う条件下で、導電率γが部分境界測定から一意に特定可能であることを証明する。

ABSTRACT

We consider inverse boundary value problems for elliptic equations of second order of determining coefficients by Dirichlet-to-Neumann map on subboundaries, that is, the mapping from Dirichlet data supported on $\partialΩ\setminus Γ_-$ to Neumann data on $\partialΩ\setminus Γ_+$. First we prove uniqueness results in three dimensions under some conditions such as $\bar{Γ_+ \cup Γ_-} = \partialΩ$. Next we survey uniqueness results in two dimensions for various elliptic systems for arbitrarily given $Γ_- = Γ_+$. Our proof is based on complex geometric optics solutions which are constructed by a Carleman estimate.

研究の動機と目的

• Dirichlet-to-Neumann写像が部分境界でのみ既知である場合の逆導電率問題の一意性を確立すること。
• 2次元および3次元において、部分境界測定値が導電率γを一意に回復可能かどうかを調査すること。
• 測定データが境界の一部でのみ得られる場合のCalderón問題への拡張を、幾何的および正則性条件を満たす条件下で行うこと。
• 不完全なデータを扱う逆係数問題に対して、複素幾何学的オプティクス解とCarleman推定に基づく枠組みを構築すること。

提案手法

• 大きなパrameter τに依存する重み関数を有するCarleman推定を用いて、導電率方程式の複素幾何学的オプティクス解を構築する。
• τ → ∞ におけるこれらの解の漸近的挙動を用い、導電率の差を含む積分恒等式を導出する。
• 部分積分および境界トレース推定を適用して誤差項を制御し、部分境界上で極限が消えることを導出する。
• 正則関数および反正則関数の構成を用いて境界データをモデル化し、Dirichlet-to-Neumann写像の構造を活用する。
• Sobolev空間における極値問題を通じた双対性議論を用いて、積分条件から境界データを再構成する。
• 境界関数がすべての正則関数との積分でゼロであるならば、その関数自体がゼロでなければならないという事実を活用し、一意性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元において、Dirichlet-to-Neumann写像が部分境界に制限されている場合、導電率γは一意に特定可能か？
• RQ2 領域および部分境界に課される幾何的および正則性条件は、逆導電率問題における一意性を保証するか？
• RQ3 2次元において、Dirichlet-to-Neumann写像が単一の部分境界Γ₊ = Γ₋でのみ既知である場合、一意性は成立するか？
• RQ4 複素幾何学的オプティクス解とCarleman推定を用いることで、部分境界データからの回復がどのように可能になるか？
• RQ5 正則関数との境界積分がゼロであるという条件下で、関数自体がゼロであることを示すにはどのような条件が必要か？

主な発見

• 3次元では、アクセス可能な境界と非アクセス境界の和集合の閉包が全境界を覆う、すなわち $\bar{Γ}_+ ∪ Γ_- = \partial\Omega$ である場合、導電率γの同定が一意に成立する。
• 2次元では、任意の部分境界Γ₊ = Γ₋に対して、境界データがすべての正則関数との積分でゼロである条件を満たす限り、一意性が成立する。
• 証明は、大きなパrameter τ → ∞ における漸近的挙動を制御可能なCarleman推定を用いた複素幾何学的オプティクス解の構築に依存する。
• 著者らは、部分境界でDirichlet-to-Neumannデータが一致するならば、導電率の差がゼロでなければならないことを示し、これが一意性を示す。
• 重要な技術的ステップとして、位相関数Φおよびその共役関数を含むある種の境界積分がτ → ∞ の極限で消えることを証明し、これにより導電率の差が消えることを導出する。
• 境界上に有限個の点で高次にゼロとなる正則関数の存在が、誤差を局在化させる解の構築に用いられ、これが一意性の議論を可能にする。