[論文レビュー] Unitary Representations of Quantum Lorentz Group and Quantum Relativistic Toda Chain

M. A. Olshanetsky, V. -B. K. Rogov|ArXiv.org|Oct 17, 2001

Advanced Algebra and Geometry参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、量子ローレンツ群のねじれ家族に対するユニタリ非可約表現を構成することにより、$q$-ベッセル＝ジャクソンおよび$q$-ベッセル＝マクドナルド関数の3種類のタイプを群論的枠組みで確立する。これらの表現の行列要素が2体相対論的開放Toda格子の波動関数をもたらすことを示し、これらの関数に対する積分表現（特にメリン＝バーンズ型積分）を導出する。これは古典的調和解析を量子設定に一般化するものである。

ABSTRACT

The aim of this paper is to give a group theoretical interpretation of the three types of Bessel-Jackson functions. We consider a family of quantum Lorentz groups and a family of quantum Lobachevsky spaces. For three members of quantum Lobachevsky spaces the Casimir operators give rise to the two-body relativistic open Toda lattice Hamiltonians. Their eigen-functions are the modified Bessel-Jackson functions of three types. We construct the principal series of unitary irreducible representations of the quantum Lorentz groups. Special matrix elements in the irreducible spaces are the Bessel-Macdonald-Jackson functions. They are the wave functions of the two-body relativistic open Toda lattice. We obtain integral representations for these functions.

研究の動機と目的

• 量子群を用いて、$q$-ベッセル＝ジャクソンおよび$q$-ベッセル＝マクドナルド関数の3種類のタイプの群論的解釈を提供すること。
• $U_q({\rm sl}_2(\mathbb{C}))$のねじれ家族に対するユニタリ非可約表現の主系列を構成すること。
• 2体相対論的開放Toda格子の波動関数が、これらの表現における特別な行列要素として特定されることを示すこと。
• $q$-ベッセル＝マクドナルド関数の積分表現（メリン＝バーンズ型積分を含む）を導出すること。
• 量子群双対性を用いて、対称空間上の古典的調和解析を量子ロバチェフスキー空間へ一般化すること。

提案手法

• ねじれ家族の量子ローレンツ群およびそれに関連する量子ロバチェフスキー空間を、同次量子空間として構成すること。
• 量子ロバチェフスキー空間上のホロスフィェリック座標で、量子ローレンツ群のキャスミール作用素を実現し、相対論的Todaハミルトニアンに同型な2階差分作用素が得られることを示すこと。
• 量子ローレンツ群上でホイットカー模型のアプローチを用いて、主系列のユニタリ非可約表現を定義すること。
• 非可約表現空間における特別な行列要素を、$q$-ベッセル＝マクドナルド関数として特定し、これらがTodaモデルの波動関数として機能することを示すこと。
• 量子群生成子の作用を分析し、$q$-ガンマ関数を用いることで、$q$-ベッセル＝マクドナルド関数のメリン＝バーンズ型積分表現を導出すること。
• $q$-差分作用素および$q$-積分恒等式を用いて、積分表現が既知の関数方程式と整合することを検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3種類の$q$-ベッセル＝ジャクソンおよび$q$-ベッセル＝マクドナルド関数は、どのようにして量子群のユニタリ表現における行列要素として解釈できるか？
• RQ2 相対論的2体開放Toda格子ハミルトニアンの量子群論的起源は何か？
• RQ3 量子ロバチェフスキー空間上のキャスミール作用素は、どのようにして量子変形を経てTodaハミルトニアンに至るか？
• RQ4 この文脈で生じる$q$-ベッセル＝マクドナルド関数の明示的積分表現（例：メリン＝バーンズ型）は何か？
• RQ5 量子ローレンツ群のホイットカー模型は、古典的対称空間上の調和解析をどのようにして量子設定に一般化するか？

主な発見

• 2体相対論的開放Toda格子の波動関数は、量子ローレンツ群$U_q({\rm sl}_2(\mathbb{C}))$の主系列ユニタリ表現における特別な行列要素として特定された。
• ホロスフィェリック座標で表現された量子ロバチェフスキー空間上のキャスミール作用素は、2階差分作用素に同型であり、これは量子相対論的Todaハミルトニアンに等しい。
• この作用素の固有関数は、$j=1,2,3$に対応する$\delta=2,0,1$にラベル付けされた3種類の変形$q$-ベッセル＝ジャクソンおよび$q$-ベッセル＝マクドナルド関数である。
• $q$-ベッセル＝マクドナルド関数のメリン＝バーンズ型積分表現が導出された： $ K_{i\nu}^{(j)}(2\mu(1-q^{2})q^{-\frac{1}{2}\delta}x;q^{2}) = -\frac{\ln q\mu^{-i\nu-2}}{4\pi i(1-q^{2})}A_{\nu}^{|1-\delta|}q^{\frac{4-\delta}{4}\nu^{2}-\frac{1}{2}\delta}\int_{-\infty-i\sigma}^{\infty-i\sigma}q^{\frac{\delta}{4}p^{2}+i\frac{2+\delta}{2}p}\Gamma_{q^{2}}(\frac{i}{2}(p+\nu))\Gamma_{q^{2}}(\frac{i}{2}(p-\nu))H^{ip}dp $。
• 積分表現における正規化定数$B$は明示的に計算され、$ B = -\frac{2(1-q^{2})}{\ln q}\mu^{i\nu+2}A_{-i\nu}^{|1-\delta|}q^{-\frac{4-\delta}{4}\nu^{2}+\frac{1}{2}\delta} $である。この値は、$q$-差分関数方程式と整合的であることが保証される。