[論文レビュー] Universal enveloping Lie Rota-Baxter algebra of preLie and post-Lie algebras

Vsevolod Gubarev|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2017

Advanced Topics in Algebra参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Lyndon-Shirshov語と部分的に可換基底を用いて、pre-Lieおよびpost-Lie代数の普遍包絡Lie Rota-Baxter代数を構成する。また、ペア $(\mathrm{RB}\mathrm{Lie}, \mathrm{pre}\mathrm{Lie})$ および $(\mathrm{RB}_{\lambda}\mathrm{Lie}, \mathrm{post}\mathrm{Lie})$ がPBWペアであることを証明し、Lie Rota-Baxter代数の多様体がSchreierでないことを確立した。これは非結合的代数および普遍代数分野における長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

Universal enveloping Lie Rota-Baxter algebras of pre-Lie and post-Lie algebras are constructed. It is proved that the pairs of varieties (Lie Rota-Baxter algebras of zero weight,preLie algebras) and (Lie Rota-Baxter algebras of nonzero weight,post-Lie algebras) are PBW-pairs and the variety of Lie Rota-Baxter algebras is not Schreier.

研究の動機と目的

• pre-Lieおよびpost-Lie代数の普遍包絡Lie Rota-Baxter代数を構成すること。
• ペア $(\mathrm{RB}\mathrm{Lie}, \mathrm{pre}\mathrm{Lie})$ および $(\mathrm{RB}_{\lambda}\mathrm{Lie}, \mathrm{post}\mathrm{Lie})$ がPBWペアをなすかどうかを特定すること。
• Lie Rota-Baxter代数の多様体のSchreier性を調査すること。
• 先行研究で提示された普遍代数およびRota-Baxter構造に関する未解決問題を解消すること。

提案手法

• 結果[20]を基に、生成集合上の自由Lie Rota-Baxter代数を用いて、普遍包絡Lie Rota-Baxter代数を構成する。
• Lyndon-Shirshov語と$R$-文字に関する帰納法により、自由Lie Rota-Baxter代数の標準基底$E$を定義する。
• pre-Lieおよびpost-Lie作用を$ x \cdot y = [R(x), y] $および修正された括弧恒等式を介して尊重する、$E$の線型空間上の積$*$を導入する。
• 語の次数および総次数に関する帰納法を用いて、構成された代数におけるジャコビ恒等式を検証する。
• 恒等式 $[R(x), [u,v]] = [[R(x),u],v] + [u,[R(x),v]]$ を用いて、自由RB代数のすべての基本的要素が基底$E$を介して線形的に表現可能であることを示し、同型性を保証する。
• 既知の非Schreier多様体に関する結果および自由代数の構造を活用し、Lie Rota-Baxter代数の非Schreier性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のpre-Lie代数に対して、普遍包絡Lie Rota-Baxter代数は存在するか？ もし存在するならば、どのように構成されるか？
• RQ2 ペア $(\mathrm{RB}\mathrm{Lie}, \mathrm{pre}\mathrm{Lie})$ および $(\mathrm{RB}_{\lambda}\mathrm{Lie}, \mathrm{post}\mathrm{Lie})$ は $\lambda \neq 0$ のときPBWペアか？
• RQ3 Lie Rota-Baxter代数の多様体はSchreier的か、すなわち自由代数の部分代数が常に自由か？
• RQ4 pre-Lieおよびpost-Lie代数の代数的構造は、異なる重みを持つRota-Baxter作用素とどのように関係するか？

主な発見

• pre-Lie代数の普遍包絡Lie Rota-Baxter代数は、同一の生成集合上の自由Lie Rota-Baxter代数の商として構成される。
• post-Lie代数の普遍包絡Lie Rota-Baxter代数は同様に構成され、$R(u)*R(v) = R(R(u)*v + u*R(v) + u*v)$ を含む修正された積則を用いる。
• ペア $(\mathrm{RB}\mathrm{Lie}, \mathrm{pre}\mathrm{Lie})$ はPBWペアである。これは、普遍包絡代数の構成がPBW性質を保存することを意味する。
• 重み$\lambda \neq 0$ のペア $(\mathrm{RB}_{\lambda}\mathrm{Lie}, \mathrm{post}\mathrm{Lie})$ に対してもPBWペアである。
• Lie Rota-Baxter代数の多様体はSchreierでない。自由Lie Rota-Baxter代数の部分代数が常に自由であるとは限らない。
• pre-Lie代数の非Schreier性は、普遍包絡構成を介してLie Rota-Baxter代数に対しても同様に成立する。