[論文レビュー] Unobstructed K-deformations of Generalized Complex Structures and Bihermitian Structures

Ryushi Goto|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 20被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、有効な反標準的除集合を備えたコンパクトなカーラー多様体上の一般化された複素構造の遮蔽のない K-変形を、その除集合に極を持つメラモーフィック n-形式を用いて確立する。主な結果は、コンパクトなカーラー表面が非自明な双ハーミート構造を有するための必要十分条件が、非ゼロの正則ポアソン構造の存在にあることであり、デル・ペッツォ、退化デル・ペッツォ、およびルールド表面において明示的な構成が可能である。

ABSTRACT

We introduce K-deformations of generalized complex structures on a compact Kahler manifold $M=(X, J)$ with an effective anti-canonical divisor and show that obstructions to K-deformations of generalized complex structures on $M$ always vanish. Applying the stability theorem of generalized Kahler structures, together with unobstructed K-deformations, we construct deformations of bihermitian structures in the form $(J, J^-_t, h_t)$ on a compact Kahler surface with a non-zero holomorphic Poisson structure. Then we prove that a compact Kahler surface $S$ admits a non-trivial bihermitian structure if and only if $S$ has a non-zero holomorphic Poisson structure.

研究の動機と目的

• 一般化された複素構造の変形を分析することにより、コンパクト複素表面における非自明な双ハーミート構造の存在問題を解決すること。
• 有効な反標準的除集合を備えたコンパクトなカーラー多様体上での一般化された複素構造の遮蔽のない K-変形を確立すること。
• 非ゼロの正則ポアソン構造の存在を用いて、非自明な双ハーミート構造を有するコンパクトなカーラー表面を特徴づけること。
• デル・ペッツォ表面、退化デル・ペッツォ表面、およびルールド表面において、$(J, J^{-}_t, h_t)$ の明示的族を構成すること。ここで $J^{-}_t$ は $J$ と微分同相でない。

提案手法

• 有効な反標準的除集合 $D$ 沿いに極を持つメラモーフィック $n$-形式を用いて、一般化された複素構造の K-変形を導入し、統一的な変形理論的枠組みを用いる。
• コhomology $H^2(\bar{L}(-D))$ の分析により、K-変形の障害が消えることを示し、$H^{n,2} \times H^{n-1,1} \times H^{n-2,0}$ でパrameter化される遮蔽のない変形が得られることを示す。
• 一般化されたカーラー構造の安定性定理を適用して、K-変形を一般化されたカーラー構造に持ち上げる。この一般化されたカーラー構造は、一般化されたカーラー対応により双ハーミート構造に対応する。
• 双ハーミート構造における torsion 条件を保証するため、$-d^c_+\tilde{\theta}_+ = d^c_-\tilde{\theta}_- = db$ の条件を用いる。
• デル・ペッツォ表面およびルールド表面における非自明な双ハーミート構造を、$H^1(X, \theta)$ 内のクラス $[\beta \bullet \tilde{\theta}]$ の非消滅性を分析することにより構成する。
• 背理法により $[\beta \bullet \tilde{\theta}] \neq 0$ を証明する：$(-2)$-曲線 $C$ に対して $D \cap C = \emptyset$ かつ $K \cdot C = 0$ ならば、$\beta|_C \equiv 0$ となるが、これは $D$ の滑らかさに反する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトなカーラー表面が、異なる複素構造 $J$ と $J^{-}$ を持つ非自明な双ハーミート構造を有するための条件は何か？
• RQ2 有効な反標準的除集合を備えたコンパクトなカーラー多様体上での一般化された複素構造の K-変形の障害理論は何か？
• RQ3 遮蔽のない K-変形が、デル・ペッツォ表面やルールド表面などの表面における双ハーミート構造の構成にどのように寄与するか？
• RQ4 コンパクトなカーラー表面に非自明な双ハーミート構造が存在することを保証する正確なコhomological 条件は何か？
• RQ5 1パrameter族の双ハーミート構造において、複素構造 $J^{-}_t$ が微分同相でないのはいつか？

主な発見

• コンパクトなカーラー表面における K-変形の障害空間は $H^{1,2} \oplus H^{0,1} \cong H^1(S, \mathbb{C})$ であり、$b_1(S) \neq 0$ のときには消えないが、変形は依然として遮蔽のないものである。
• 任意の有効な反標準的除集合を備えたコンパクトなカーラー多様体上では、一般化された複素構造の遮蔽のない K-変形が存在し、$H^{n,2} \oplus H^{n-1,1} \oplus H^{n-2,0}$ でパrameter化される。
• コンパクトなカーラー表面が同じ向きを持つ非自明な双ハーミート構造を有するための必要十分条件は、非ゼロの正則ポアソン構造を有することである。
• 退化デル・ペッツォ表面では $H^1(X, \mathcal{O}_X) = 0$ かつ $H^2(X, \Theta) = 0$ であるため、双ハーミート構造の変形が遮蔽のないものであることが保証される。
• 退化デル・ペッツォ表面 $X(\Sigma)$ に対して、クラス $[\beta \cdot \tilde{\theta}] \in H^1(X, \Theta)$ は非ゼロであり、$t \neq 0$ の小さな $t$ に対して $J^{-}_t$ が $J$ と微分同相でないことが示され、複素構造の相違が保証される。
• ルールド表面 $\mathbb{P}(T^*\Sigma_g \oplus \mathcal{O}_{\Sigma_g})$ およびヒルツェブルフ表面 $F_e$ において、明示的な双ハーミート構造 $(J, J^{-}_t, h_t)$ が構成され、ここで $J^{-}_t$ は微分同相でない。