[論文レビュー] Use of Quantum Sampling to Calculate Mean Values of Observables and Partition Function of a Quantum System

Robert R. Tucci|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2009

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、2つのサブルーチンを用いて、量子系の観測量の平均値および分配関数を効率的に計算する量子アルゴリズムを提示する。(1) 観測量の対角行列要素を計算する多項式時間の量子位相推定およびトモグラフィー手法、(2) シェゲディ演算子に基づく量子サンプリング手順で、古典的サンプリングと比較して2乗の高速化を達成する。主な貢献は、ハミルトニアン固有値の事前知識が不要な状態で、熱的期待値を効率的に推定できることであり、量子高速化にもかかわらず、計算のボトル neck であるサンプリングステップが非多項式時間である。

ABSTRACT

We describe an algorithm for using a quantum computer to calculate mean values of observables and the partition function of a quantum system. Our algorithm includes two sub-algorithms. The first sub-algorithm is for calculating, with polynomial efficiency, certain diagonal matrix elements of an observable. This sub-algorithm is performed on a quantum computer, using quantum phase estimation and tomography. The second sub-algorithm is for sampling a probability distribution. This sub-algorithm is not polynomially efficient. It can be performed either on a classical or a quantum computer, but a quantum computer can perform it quadratically faster.

研究の動機と目的

• 量子系の観測量の平均値および分配関数を計算するための量子アルゴリズムの開発。
• 量子位相推定および量子トモグラフィーを用いて、観測量の対角行列要素 ⟨x|O|x⟩ を多項式時間で効率的に計算する。
• 量子コンピュータを用いた熱的状態に関連する確率分布のサンプリングのためのフレームワークの提供。
• シェゲディに基づく量子サンプリング技術により、古典的手法と比較して2乗の高速化を達成する。
• 一部の先行研究とは異なり、ハミルトニアン固有値の事前知識が不要である。

提案手法

• 観測量 O の対角行列要素 ⟨x|O|x⟩ を多項式時間で効率的に計算するために、量子位相推定および量子トモグラフィーを用いる。
• 任意の Δt ≥ 0 に対して、p-コンパイル可能なユニタリ時間発展演算 U = e^{-iHΔt} を用い、ハミルトニアンの作用に効率的にアクセス可能である。
• シェゲディ演算子に基づく量子サンプリングアルゴリズム（例：量子ギブスサンプリング）を適用し、確率分布 μ(x) ∝ ⟨x|e^{-βH}|x⟩ からサンプリングする。
• サンプル化された状態 x(s) を用いたモンテカルロ平均化により、分配関数 Z および期待値を推定し、μ(x) を用いて Zg = tr{g(H)e^{-βH}} を推定する。
• ρ = e^{-βH}/Z とすると、〈g(H)ρ〉 = Zg / Z の関係を用いて、熱的期待値を計算する。
• サンプリングステップは p-非効率的だが、量子コンピュータ上で実装された場合、古典的サンプリングと比較して2乗の高速化を享受する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子位相推定およびトモグラフィーを用いて、量子コンピュータ上で観測量の対角行列要素を多項式時間で計算できるか？
• RQ2 ハミルトニアン固有値の事前知識がなくても、量子サンプリング技術を用いて分配関数および熱的期待値を推定できるか？
• RQ3 量子サンプリングの収束速度は、古典的サンプリングと比較して、熱的平均値推定においてどのように異なるか？
• RQ4 シェゲディ演算子は、ボルツマン型分布からのサンプリングにおいて、2乗の高速化を実現するために果たす役割は何か？
• RQ5 本アルゴリズムは、分配関数および観測量を計算するための先行量子アルゴリズムと比較して、効率性および仮定の面でどのように異なるか？

主な発見

• 量子位相推定およびトモグラフィーを用いることで、対角行列要素 ⟨x|O|x⟩ は多項式時間で計算可能であり、量子ビット数のスケーラビリティを確保できる。
• 量子サンプリングサブルーチンは p-非効率的だが、古典的サンプリングと比較して2乗の高速化を達成し、ステップ数が O(1/√δ) で収束する（δ は対応するマルコフ連鎖のスペクトルギャップ）。
• 本アルゴリズムは、ハミルトニアン H の固有値の事前知識がなくても、分配関数 Z および熱的期待値 tr{g(H)ρ} の推定が可能である。
• 本手法は物理的ボルツマン状態 ρ やその純化状態ではなく、|√Px⟩ 状態を生成するため、アニーリングスケジュールに起因する誤差を回避できる。
• テンメらのアルゴリズムと比較すると、同じ推定タスクにおいて、2乗の高速化（O(1/√δ) 対 O(1/δ)）を達成する。
• 本アルゴリズムは古典的サンプリングよりも効率的であり、プアリンとウォチャーンの手法とは異なり、反復的アニーリングの必要がない。一方で、固有値の事前知識も不要である。