[論文レビュー] Valuations and plurisubharmonic singularities

Sébastien Boucksom, Charles Favre+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2007

Geometry and complex manifolds参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、特異点の解析のための価値的枠組みを、高次元における正単調（psh）関数の特異点に適用する。各psh局所関数 $ u $ に対して、正規化された価値の空間 $ \mathcal{V} $ 上の形式的psh関数 $ \hat{u} $ を関連付ける。$ \mathcal{V} $ 上の混合Monge-Ampère作用素を用いて、一般化されたLelong数、乗数イデアル、相対的型が、すべての無限に近い点における $ u $ のLelong数によって完全に決定されることを示し、それらの不変量がすべて価値の平均として生じることを確立する。

ABSTRACT

We extend to higher dimensions some of the valuative analysis of singularities of plurisubharmonic (psh) functions developed by the last two authors. Following Kontsevich and Soibelman we describe the geometry of the space V of all normalized valuations on C[x_1,...,x_n] centered at the origin. It is a union of simplices naturally endowed with an affine structure. Using relative positivity properties of divisors living on modifications of C^n above the origin, we define formal psh functions on V, designed to be analogues of the usual psh functions. For bounded formal psh functions on V, we define a mixed Monge-Ampere operator which reflects the intersection theory of divisors above the origin of C^n. This operator associates to any (n-1)-tuple of formal psh functions a positive measure of finite mass on V. Next, we show that the collection of Lelong numbers of a given germ u of a psh function at all infinitely near points induces a formal psh function u' on V called its valuative transform. When ϕis a psh Holder weight in the sense of Demailly, the generalized Lelong number nu_ϕ(u) equals the integral of u' against the Monge-Ampere measure of the valuative transform of ϕ. In particular, any generalized Lelong number is an average of valuations. We also show how to compute the multiplier ideal of u and the relative type of u with respect to ϕin the sense of Rashkovskii, in terms of the valuative transforms of u and ϕ.

研究の動機と目的

• 2次元から高次元への正単調特異点の価値的解析を、特異点の解消と価値論を用いて拡張すること。
• 原点に中心を持つ $ \mathbb{C}[x_1,\dots,x_n] $ の正規化された価値の空間 $ \mathcal{V} $ 上に、$ u $ のすべての無限に近い点におけるLelong数を符号化する形式的psh関数 $ \hat{u} $ を定義すること。
• 原点の上にある除数の交線形理論を反映するように、$ \mathcal{V} $ 上に混合Monge-Ampère作用素を構成すること。
• $ u $ の一般化されたLelong数、乗数イデアル、相対的型が、$ \hat{u} $ のデータによって完全に決定されることを示すこと。
• 一般化されたLelong数が、$ \hat{u} $ に対するMonge-Ampère測度の下での積分として表現されることにより、それが価値の平均であることを証明すること。

提案手法

• $ \mathbb{C}^n $ の原点に中心を持つ $ \mathbb{C}[x_1,\dots,x_n] $ の正規化された価値の空間 $ \mathcal{V} $ はアフィン構造をもち、Hironakaの特異点解消を用いて単体の和集合に分解される。
• $ \mathcal{V} $ 上の形式的psh関数は、原点の上での変形における除数の相対的正則性の性質を用いて定義される。
• $ \mathcal{V} $ 上に混合Monge-Ampère作用素を構成し、$ (n-1) $ 個の形式的psh関数に対して、有限質量の正の測度を関連付ける。
• $ u $ のすべての無限に近い点におけるLelong数は、$ \mathcal{V} $ 上の形式的psh関数 $ \hat{u} $ に符号化され、$ u $ の特異点データを捉える。
• 一般化されたLelong数 $ \nu_\varphi(u) $ は、積分 $ \int_{\mathcal{V}} -\hat{u} \, \text{MA}(\hat{\varphi}) $ として表現され、これにより$ \hat{u} $ との関係が確立される。
• 近似技法を用いて、一般の場合を、主イデアルによって定義されるpsh重みのケースに還元し、交線形理論における射影公式と変数変換を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 原点における正単調局所関数 $ u $ の特異点は、すべての無限に近い点におけるLelong数から完全に回復可能か？
• RQ2 psh重み $ \varphi $ に対して、psh関数 $ u $ の一般化されたLelong数 $ \nu_\varphi(u) $ は、価値の平均として表現可能か？
• RQ3 乗数イデアルと相対的型は、$ \hat{u} $ に符号化された価値論的データから再構成可能か？
• RQ4 $ \mathcal{V} $ 上の混合Monge-Ampère作用素は、$ \mathbb{C}^n $ の原点の上にある除数の交線形理論を反映するか？
• RQ5 $ \mathcal{V} $ は自然に凸幾何的構造を備えており、psh特異点の解析を容易にするか？

主な発見

• 一般化されたLelong数 $ \nu_\varphi(u) $ は、$ \hat{u} $ と $ \text{MA}(\hat{\varphi}) $ の下での積分に等しく、これが価値の平均であることを示した。
• $ u $ のすべての無限に近い点におけるLelong数の集合は、すべての $ t>0 $ に対して $ \mathcal{J}_+(tu) $ を決定し、したがって $ \mathcal{J}_+(u) $ がこのデータから完全に回復可能であることを示した。
• 相対的型 $ \sigma(u,\varphi) $ が $ \sigma(v,\varphi) $ と等しいことと、$ u $ と $ v $ のすべての無限に近い点におけるLelong数が一致することは同値であり、不変量の同値性を確立した。
• $ \mathcal{V} $ 上の形式的psh関数 $ \hat{u} $ は、$ k \to \infty $ のときの $ \frac{1}{k}\log|\mathcal{J}_+(ku)| $ の点毎の極限として得られ、乗数イデアルと価値空間を結びつける。
• 主イデアル $ \mathfrak{a} $ によって定義されるpsh重み $ \varphi $ に対して、一般化されたLelong数 $ \nu_\varphi(u) $ は、$ \mathfrak{a} $ の生成子によって定義される有限写像 $ F $ による $ F_*u $ のLelong数に等しい。
• $ \varphi $ がタウムpsh重みであるとき、混合Monge-Ampère測度 $ \text{MA}(\hat{\varphi}) $ は有限個の除法的価値にのみ台を持つため、明示的な積分と近似が可能である。