[論文レビュー] Variable time amplitude amplification and a faster quantum algorithm for solving systems of linear equations

Andris Ambainis|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2010

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 10被引用数 61

ひとこと要約

この論文は、異なる時間に終了する分岐に合わせて増幅を適応させる変数時間の振幅増幅を導入し、効率を向上させる量子アルゴリズムフレームワークを提示する。この手法を線形方程式系を解くHHLアルゴリズムに適用することで、実行時間のオーダーを $O(\kappa^2 \log N)$ から $O(\kappa \log^3 \kappa \log N)$ に短縮し、条件数 $\kappa$ にほぼ最適な依存関係を達成した。この方法により、振幅増幅における早期終了分岐を活用することで、量子線形方程式系の高速化が可能になった。

ABSTRACT

We present two new quantum algorithms. Our first algorithm is a generalization of amplitude amplification to the case when parts of the quantum algorithm that is being amplified stop at different times. Our second algorithm uses the first algorithm to improve the running time of Harrow et al. algorithm for solving systems of linear equations from O(kappa^2 log N) to O(kappa log^3 kappa log N) where κis the condition number of the system of equations.

研究の動機と目的

• 異なる計算分岐の終了時刻が異なる状況を考慮した新しい量子振幅増幅技術の開発。
• 条件数 $\kappa$ への依存を低減することで、線形方程式系を解くHHL量子アルゴリズムの実行時間を改善すること。
• 条件数 $\kappa$ に対してほぼ最適な実行時間、すなわち理論的下界 $\Omega(\kappa^{1-o(1)})$ に近い依存関係を達成すること。
• 変数時間の振幅増幅が、線形方程式系の解法を越えた他の量子アルゴリズムに対しても広く適用可能であることを示すこと。

提案手法

• 複数段階にわたる、異なる終了時刻に対応する一般化された振幅増幅フレームワークを導入し、計算分岐の終了時刻に合わせて適応する。
• 成功レジスタを3つの結果（1：望ましい結果、0：失敗、2：未完了の計算）に分け、変数時間パスにおける進行状況を追跡する。
• 元のアルゴリズム $\mathcal{A}$ を複数回呼び出す新しいアルゴリズム $\mathcal{A}'$ を構築し、合計時間計算量は $O\left(T_{\text{max}}\sqrt{\log T_{\text{max}}} + \frac{T_{\text{av}}}{\sqrt{p_{\text{succ}}}}\log^{1.5}T_{\text{max}}\right)$ となるように設計した。
• 固有値推定サブルーチンを段階的な精度を徐々に高める形に変更し、早期終了を許容することで、HHLアルゴリズムに変数時間の振幅増幅を適用した。
• 各段階が固有値推定における精度レベルに対応し、成功が検出された時点で早期終了する複数段階の振幅増幅を実装した。
• 誤差境界と振幅解析を用いて、最終状態が望ましい解状態と高確率で近い状態に保たれることを保証し、段階間での誤差伝搬を制御した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 異なる計算分岐が異なる時間に終了する量子アルゴリズムに対し、振幅増幅を一般化して適用可能か？
• RQ2 変数時間の振幅増幅は、元のHHL手法と比較して、線形方程式系を解く量子アルゴリズムをより速くするという明確な改善をもたらすか？
• RQ3 量子線形方程式系ソルバーにおける条件数 $\kappa$ への最適な依存関係は何か？ そして、新しい振幅増幅技術によってその依存関係に近づけるか？
• RQ4 固有値推定における早期終了を活用することで、HHLアルゴリズムの $O(\kappa^2 \log N)$ の実行時間は改善可能か？

主な発見

• 提案された変数時間の振幅増幅により、合計実行時間は $O\left(T_{\text{max}}\sqrt{\log T_{\text{max}}} + \frac{T_{\text{av}}}{\sqrt{p_{\text{succ}}}}\log^{1.5}T_{\text{max}}\right)$ に短縮され、$T_{\text{av}} \ll T_{\text{max}}$ の場合に標準的振幅増幅より高速であることが示された。
• 1回の実行で望ましい状態 $|\psi_{\text{good}}\rangle$ を得る成功確率が $1/2$ 以上であり、$O(\log \frac{1}{\epsilon})$ 回の繰り返しにより $1 - \epsilon$ にまで向上させられる。
• 線形方程式系を解く新しい量子アルゴリズムは、$O(\kappa \log^3 \kappa \log N)$ の時間で実行され、元のHHLアルゴリズムの $O(\kappa^2 \log N)$ の複雑さを改善した。
• 条件数 $\kappa$ への依存は、$BQP \neq PSPACE$ の仮定のもとで理論的下界 $\Omega(\kappa^{1-o(1)})$ に近づいているため、ほぼ最適である。
• 誤差解析により、最終状態が理想の解状態と $O(\epsilon)$ の距離以内に保たれ、複数段階にわたる固有値推定における誤差伝搬が制御されていることが示された。
• 両方の項 $T_{\text{max}}$ と $T_{\text{av}}/\sqrt{p_{\text{succ}}}}$ が複雑さの上限において不可欠であるため、この方法は対数要因を除いて最適である。