[論文レビュー] Variants on the Berz sublinearity theorem

Ν. H. Bingham, A. J. Ostaszewski|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2017

Advanced Topology and Set Theory参考文献 44被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、全選択公理（AC）の代わりに従属選択公理（DC）のみを用いて、ベルツの部分線形性定理の変種を提示し、実数上の部分線形関数が線形であるための条件を確立する。同定理では、斉次性および部分加法的条件を、稠密な加法的部分群に制限した「スリム化」されたバージョンを導入し、連続性および有界性によって線形性が保証される。

ABSTRACT

We consider variants on the classical Berz sublinearity theorem, using only DC, the Axiom of Dependent Choices, rather than AC, the Axiom of Choice which Berz used. We consider thinned versions, in which conditions are imposed on only part of the domain of the function -- results of quantifier-weakening type. There are connections with classical results on subadditivity. We close with a discussion of the extensive related literature.

研究の動機と目的

• DCのみを用いて、全選択公理に依存しない群論的類似定理としてのハーン＝バナッハ拡張定理を確立すること。
• ベルツの部分線形性条件における全称的量化子（すべての実数 x に対する N-斉次性）を、ℝ の稠密な加法的部分群 A ⊆ ℝ に弱めることが可能かどうかを調査すること。
• DCのみを用いて、稠密な加法的部分群 A 上で部分加法的かつ N-斉次な関数が ℝ 上の線形関数に拡張されるための条件を提供すること。
• 量化子を弱めた条件下で、連続性および局所有界性が線形性を保証する役割を探索すること。
• 公理的および位相的アプローチを通じて、これらの結果を古典的線形性定理、正則変動、キングマンの部分加法的エルゴード定理と結びつけること。

提案手法

• S(0) = 0 を満たす部分加法的関数が 0 で連続ならば、Goldie の連続性基準（定理 0）を用いて、それが ℝ 全体で連続であることを示す。
• S(0) = 0 でない場合に部分加法的関数に対して、Kingsman のベールのカテゴリ一様定理に基づく有界性（定理 0+）を適用し、弱い正則性条件のもとで線形上界を確立する。
• ℝ 上で定義された関数 S に対して局所有界性と部分加法性を仮定し、0 での連続性が ℝ₊ および ℝ₋ における全域的連続性および線形性を導くことを示す。
• N-斉次性の定義域を稠密な加法的部分群 A ⊆ ℝ に制限することで「スリム化」を導入し、部分加法性および局所有界性を維持する。
• S(t)/t の t → 0 および t → ∞ の漸近的挙動を分析し、N-斉次性が A に制限された場合の線形性の必要十分条件を導出する。
• 強力な選択公理を避けるために、AC ではなく DC に依存して拡張定理を証明し、部分線形性および準同型写像の拡張に関する主要な結果を保持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベルツの部分線形性定理は、全選択公理（AC）の代わりに従属選択公理（DC）のみを用いて証明可能か？
• RQ2 稠密な加法的部分群 A ⊆ ℝ 上で部分加法的かつ N-斉次な関数が、ℝ 上の線形関数に拡張されるための条件は何か？
• RQ3 N-斉次性における全称的量化子（すべての x ∈ ℝ から x ∈ A に）を弱めた場合に、線形性を保証するための必要十分条件は何か？
• RQ4 DC の下で、古典的線形性定理（Hille-Phillips や Kolmogorov のもの）とこれらの結果はどのように関係するか？
• RQ5 特に可分またはアメニタリ群の設定において、加法的関数に対するハーン＝バナッハ型拡張定理は、DC のみを用いて確立可能か？

主な発見

• 局所有界な部分線形関数 S: ℝ → ℝ は、DC を用いれば、ℝ 全体で連続であり、ℝ₊ および ℝ₋ で線形である。
• 定理 3 は、AC や PIT に依存しない、加法的関数に対する DC を用いたハーン＝バナッハ定理の拡張を確立する。
• S(0) = 0 を満たす部分加法的関数 S: ℝ → ℝ に対して、0 での連続性は、ある数列 zₙ ↗ 0 に対して S(zₙ) → 0 であることと同値である。
• N-斉次性が稠密な加法的部分群 A ⊆ ℝ に制限され、S が局所有界であるとき、S が ℝ 上で線形であるための必要十分条件は、S(t)/t の 0 および ∞ における漸近的極限が一致することである。
• これらの結果は、ノルム空間値関数へ一般化可能であり、x ≠ 0 に対して S(x) = ||x||S(uₓ) を満たす単位ベクトル uₓ を用い、S(uₓ) の一様有界性が成立する。
• 本稿は、バドゥラの群論的ハーン＝バナッハ結果の可分ケースが、DC のみを用いて証明可能である可能性を示しており、完備性の役割については未解決のまま残っている。