[論文レビュー] Variation of singular Kähler-Einstein metrics: positive Kodaira dimension

Junyan Cao, Henri Guenancia+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 25被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、一般型のファイバーをもつケーラー・ファイバー空間において、ファイバーごとの特異ケーラー・アインシュタイン計量が、ねじれ接続のLelong数が消える条件の下で、相対 canonical バンドル $K_{X/Y}$ 上に正の曲率を持つ計量を誘導することを確立する。この結果は、Lelong数がゼロの状況における相対ねじれケーラー・アインシュタイン計量に関する予想を裏付け、ソン＝ティアンの標準計量理論を中間のコルダイラ次元へと拡張する。

ABSTRACT

Given a Kähler fiber space $p:X o Y$ whose generic fiber is of general type, we prove that the fiberwise singular Kähler-Einstein metric induces a semipositively curved metric on the relative canonical bundle $K_{X/Y}$ of $p$. We also propose a conjectural generalization of this result for relative twisted Kähler-Einstein metrics. Then we show that our conjecture holds true if the Lelong numbers of the twisting current are zero. Finally, we explain the relevance of our conjecture for the study of fiber-wise Song-Tian metrics (which represent the analogue of KE metrics for fiber spaces whose generic fiber has positive but not necessarily maximal Kodaira dimension).

研究の動機と目的

• ファイバーが一般型であるケーラー・ファイバー空間におけるファイバーごとの特異ケーラー・アインシュタイン計量が誘導する相対 canonical バンドル $K_{X/Y}$ 上の計量の正性を確立すること。
• Lelong数がゼロであるねじれ接続を持つ相対ねじれケーラー・アインシュタイン計量に関する予想を提示し、検証すること。
• コルダイラ次元が正でありながら最大でないファイバー空間へと、標準計量理論（ソン＝ティアン）を拡張すること。
• 相対イタカ・ファイバーの底上に存在する標準計量が正であり、特異点を越えて自然に拡張されることを示すこと。
• 複素多様体の正則断面の正性と近似技術を用いた複素ポテンシャル論を通じて、異なるコルダイラ次元における特異KE計量の振る舞いを統一すること。

提案手法

• 曲率接続が制御された特異計量を取り扱うために、複素ポテンシャル論と近似技術を用いる。
• 一般型ファイバー上の特異ケーラー・アインシュタイン計量の理論を適用し、ファイバーごとの計量の存在と一意性を保証する。
• Lelong数の消える条件を用いて特異点を制御し、特異点集合を越えて計量を拡張可能であることを保証する。
• 一般の予想を、係数が (0,1) に属する単純な正則交差分岐の除数に台を持つ計量と滑らかな形式の和に台を持つ場合に還元する。
• 相対イタカ・ファイバーの標準計量とその双有理モデルを用いて、底空間の曲率を分析する。
• 正則断面の拡張および閉じた正の計量に関する既知の結果を応用し、計量の標準的拡張を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般型ファイバーをもつケーラー・ファイバー空間におけるファイバーごとの特異ケーラー・アインシュタイン計量が、相対 canonical バンドル $K_{X/Y}$ 上に正の曲率を持つ計量を誘導するか？
• RQ2 ねじれ接続のLelong数がゼロである場合に、相対ねじれケーラー・アインシュタイン計量に関する予想を検証できるか？
• RQ3 中間のコルダイラ次元をもつファイバーに対して、ソン＝ティアンの標準計量が相対イタカ・ファイバーの底上でどのように振る舞うか？
• RQ4 底空間の特異点を越えて、底上の標準計量が閉じた正の計量として拡張される条件は何か？
• RQ5 非アンプルな状況において、特異KE計量を用いて正則断面の直接像の正性をどの程度回復できるか？

主な発見

• ねじれ接続のLelong数がゼロである限り、ファイバーごとの特異ケーラー・アインシュタイン計量が誘導する $K_{X/Y}$ 上の計量は正の曲率を持つ。
• Lelong数がゼロである条件の下で、相対ねじれケーラー・アインシュタイン計量に関する予想は正当であることが確認され、一般化への重要な一歩が裏付けられた。
• 相対イタカ・ファイバーの底上の標準計量は正であり、全底空間上に自然に閉じた正の計量へと拡張可能である。
• この結果は、正のコルダイラ次元における特異KE計量の計量的構造が、相対 canonical バンドルの幾何学と整合することを裏付けた。
• 証明は、複素ポテンシャル論における深い近似結果に依拠しており、一般の場合を単純な正則交差分岐の除数と (0,1) の係数を持つ場合に還元している。
• この枠組みにより、最大次元と中間次元の両状況における標準計量の振る舞いが、共通の計量的アプローチを通じて統一された。