[論文レビュー] Variational Effect of Boundary Mean Curvature on ADM Mass in General Relativity

Pengzi Miao|ArXiv.org|Sep 18, 2003

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、漸近的に平坦なリーマン多様体におけるADM質量に対する境界平均曲率の変分的効果を調査し、準凸境界を有する領域に対して、境界平均曲率を内在的値未満に低下させることでADM質量を低減できることを示している。主な貢献は、これらの条件下でバートニクの幾何的境界条件（最小質量拡張における境界上での平均曲率の等価性）が成立することを証明したことにある。

ABSTRACT

We extend the idea and techniques in \cite{Miao} to study variational effect of the boundary geometry on the ADM mass of an asymptotically flat manifold. We show that, for a Lipschitz asymptotically flat metric extension of a bounded Riemannian domain with quasi-convex boundary, if the boundary mean curvature of the extension is dominated by but not identically equal to the one determined by the given domain, we can decrease its ADM mass while raising its boundary mean curvature. Thus our analysis implies that, for a domain with quasi-convex boundary, the geometric boundary condition holds in Bartnik's minimal mass extension conjecture \cite{Bartnik_energy}.

研究の動機と目的

• 漸近的に平坦な多様体のADM質量に及ぼす境界平均曲率の変化の影響を分析すること。
• バートニクの最小質量拡張予想における幾何的境界条件を調査すること。
• 境界が準凸である領域に対して、最小質量拡張では境界上での平均曲率が一致することを確立すること。
• これまでの区分的滑らかさを持つ計量および正の質量定理に関する結果を、境界曲率の変動を含むものに拡張すること。
• 特にスカラー曲率および静的計量の性質に注目して、質量を最小化する拡張の構造を特徴づけること。

提案手法

• 外側領域における計量の変分的変形を用い、漸近的平坦性および非負のスカラー曲率を保つ。
• 1パラメータ族の共形変形 $ g_t = v_t^{\frac{4}{n-2}} g $ を適用し、$ v_t = 1 + t(u - 1) $ とする。ここで $ u $ は境界条件 $ u = 1 $ を満たすラプラス型方程式の解である。
• 強い最大原理を用いて、$ u $ の法線微分を小さくすることでADM質量が減少することを示す。
• 共形変形下での境界平均曲率の振る舞いを、公式 $ H(g_t) = H(g) + \frac{2}{n-2} \frac{\partial v_t}{\partial \vec{n}} $ を用いて分析する。
• 正の質量定理およびスカラー曲率の変形技術を適用し、質量最小化拡張において非ゼロのスカラー曲率が成立しないことを排除する。
• コルヴィーノによる静的計量の変形結果を用いて、質量最小化拡張は静的かつスカラー平坦でなければならないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 内部計量を固定したまま境界平均曲率を増加させることで、漸近的に平坦な多様体のADM質量を低減できるか？
• RQ2 バートニクの最小質量拡張予想が、境界平均曲率が界面で一致しなければならないという幾何的条件下で成立するのはどのような場合か？
• RQ3 スカラー曲率および静的計量構造は、質量最小化拡張において果たす役割は何か？
• RQ4 境界平均曲率は、最小質量拡張の存在性および正則性にどのように影響するか？
• RQ5 非ゼロのスカラー曲率を持つ質量最小化拡張は存在可能か、それともスカラー平坦かつ静的でなければならないか？

主な発見

• 有界なリーマン多様体領域のリーマン計量のリーマン的平坦なLipschitz拡張に対して、境界平均曲率が内在的値未満である場合、境界平均曲率を増加させることでADM質量を低減できる。
• 境界が準凸である領域に対して、バートニクの最小質量拡張予想における幾何的境界条件 $ H(\Sigma, g_-) = H(\Sigma, g_+) $ が成立する。
• 任意の最小質量拡張は内部でスカラー平坦かつ静的でなければならない。非ゼロのスカラー曲率は共形変形による質量減少によって矛盾を引き起こす。
• 質量最小化列は、境界平均曲率が内在的値 $ H(\Sigma, g_-) $ に単調に増加するように再パラメータ化可能である。
• 質量最小化列における境界 $ \Sigma $ のホーキング質量は、元の領域のホーキング質量に単調に減少する。
• 最小質量拡張の存在は、静的計量方程式および境界平均曲率一致条件を満たさなければならないことを示唆する。