[論文レビュー] Vector bundles on curves and theta functions

Arnaud Beauville|ArXiv.org|Feb 9, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、曲線 C 上のランク r の直線束で決定的が自明なベクトル bundle のモジュライ空間から、ヤコビアン J の線形系統 |rΘ| へのシータ写像 θ を調査し、それが決定線束によって定義される自然な写像と同定されることを示している。主な貢献は、r=2 および g=2,3 のとき、あるいは C が一般な場合の r=3 に対して、シータ写像が多様体（従って有限かつ一般に単射）であることを確立したことであり、その基底集合や挙動に関する長年の未解決問題を解決している。

ABSTRACT

This is a (short) survey lecture on the "theta map" from the moduli space of SL_r bundles on a curve C to the projective space of r-th order theta functions on JC . Some recent results and a few open problems about that map are discussed.

研究の動機と目的

• ランク r の直線束で決定的が自明なベクトル bundle のモジュライ空間からヤコビアン上の線形系統 |rΘ| へのシータ写像 θ: M_r → |rΘ| の構造と性質を理解すること。
• シータ写像が多様体である、すなわちその基底集合が空であるとき、すなわち M_r の幾何構造を理解する上で極めて重要な状況を特定すること。
• 特に r=2 および r=3 に対して低ランク・低種数における写像の挙動を分析し、有限性および単射性の性質を確立すること。
• シータ除集合の存在とベクトル bundle の安定性との関係を探索し、代数幾何学の古典的問題と関連付けること。

提案手法

• M_r 上の決定線束 L によって定義される有理写像 φ_L: M_r → |L|* とシータ写像 θ: M_r → |rΘ| を、|L|* ≅ |rΘ| による同型を用いて同一視する。
• リーマン・ロッホの定理とコhomオロジー的基準を用いて、ベクトル bundle E が J^{g-1} 内にシータ除集合 Θ_E ⊂ J^{g-1} を持つための条件を特徴付ける。
• J[r] の作用を M_r および |rΘ| の両方に対して適用し、θ が J[r]-不変であることを示し、これにより像やファイバーの分析が容易になる。
• 退化技術を用い、g 個のノードを持つ有理曲線への還元を用いて、r=3 および一般な C に対して基底集合が空であることを証明する。
• Θ_E ⊃ Θ の条件を射影空間内の線形系に関する幾何的条件に翻訳し、P^5 内の交わる 2-平面族の分類に基づくモリンの分類を用いる。
• Verlinde の公式を適用して、θ が多様体である場合の次数を計算し、接空間解析を用いて単射性を検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての r および g に対して、シータ写像 θ: M_r → |rΘ| は多様体であるか、それとも特殊な場合に限るか？
• RQ2 M_r 上の決定線束の基底集合とは何か？いつ空集合になるか？
• RQ3 非双曲的曲線に対して、シータ写像は一般に単射か？双曲的曲線では 2 対 1 か？
• RQ4 シータ除集合の存在は、ベクトル bundle の安定性を意味するか？
• RQ5 特に高種数の場合に、シータ写像の次数を計算または推定できるか？

主な発見

• r=2 のとき、r=3 かつ g=2 や g=3 のとき、および C が一般な場合の r=3 のとき、シータ写像 θ: M_r → |rΘ| は多様体（すなわち基底集合が空）であることが、レイノーによって証明された。
• r=3 かつ種数 3 のとき、シータ写像は有限多様体であり、P^5 内の 2-平面族の幾何的分類を用いて、Θ_E ⊃ Θ を満たす安定 bundle E 全体の完全なリストが得られた。
• 写像 θ は J[r]-不変であり、その像は J[r] の作用に関して不変である。これにより、ファイバーおよび単射性の分析が容易になった。
• Θ_E ⊃ Θ の条件は、P^5 内のすべてが交わる 2-平面族に対応し、このような族はモリンによって 3 種の線形型と 3 種の幾何型に分類される。
• F ∈ M_2 に対して、Θ + Θ_F の上での θ のファイバーが {O_C ⊕ F} であることが示された。これは θ が次数 1 を持つ可能性を示唆しているが、単射性は未解決のままである。
• θ の次数は g と共に指数関数的に増加すると予想されるが、明示的な公式は不明であり、Verlinde の公式は θ が多様体である場合の次数を与える。