[論文レビュー] Vectorial Drinfeld modular forms over Tate algebras

Federico Pellarin, Rudolph Perkins|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、GL₂(𝔽ₚ[θ]) の特定の2次元表現に対して、Tate代数値をとるベクトル型Drinfeldモジュラー形式の理論を展開し、完全なモジュール構造を確立し、単位根における特異化を特徴づけ、これらの形式がHecke作用素に関して安定であることを証明する。さらに、特異化が合同部分群に対するHecke固有形式をもたらすことを示し、固有値がGoss多項式および超微分作用素によって定まることが示される。

ABSTRACT

In this text, we develop the theory of vectorial modular forms with values in Tate algebras introduced by the first author, in a very special case (dimension two, for a very particular representation of Γ := GL 2 (Fq[$theta$])). Among several results that we prove here, we determine the complete structure of the modules of these forms, we describe their specializations at roots of unity and their connection with Drinfeld modular forms for congruence subgroups of Γ and we prove that the modules generated by these forms are stable under the actions of Hecke operators.

研究の動機と目的

• GL₂(𝔽ₚ[θ]) の特定の表現に対するTate代数値をとるベクトル型モジュラー形式の理論を発展させること。
• これらの形式がTate代数上に生成するモジュールの完全な構造を特定すること。
• それらの単位根における特異化を研究し、合同部分群に対するDrinfeldモジュラー形式と関連付けること。
• これらの形式が生成するモジュールがHecke作用素の作用に対して安定であることを証明すること。
• 関数体設定における超微分作用素、A-展開、およびHecke固有形式との関係を確立すること。

提案手法

• ランク2における超微分作用素およびAnderson生成関数を用いてベクトル型モジュラー形式を構成する。
• Eisenstein級数 𝒟₁ の τ-差分方程式を用いて、その構造および変換性を分析する。
• 単位根における評価写像を適用して形式を特異化し、古典的Drinfeldモジュラー形式と関連付ける。
• 変数 t における超微分作用素を用いて新たな形式を生成し、それらのHecke固有値の振る舞いを研究する。
• A-展開およびGoss多項式を用いて、Hecke作用素の係数および固有値を特徴付ける。
• Peterssonのスラッシュ作用素および合同部分群論を用いて、モジュラー性および尖点における正則性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Tate代数上でのモジュールとして、Tate代数値をとるベクトル型Drinfeldモジュラー形式はどのように構造化されるか？
• RQ2 これらの形式は単位根における特異化においてどのように振る舞い、合同部分群に対するDrinfeldモジュラー形式と関係するか？
• RQ3 これらの形式が生成するモジュールは、Hecke作用素の作用に対して不変のままであるか？
• RQ4 この設定において、変数 t における超微分作用素はHecke固有形式およびA-展開とどのように相互作用するか？
• RQ5 特異化のA-展開における係数は、Hecke固有値をどの程度反映しており、古典的モジュラー形式とはどのように異なるか？

主な発見

• 与えられた表現に対するベクトル型Drinfeldモジュラー形式のモジュールは、完全に特定され、Tate代数上での自由加群であることが示された。
• 単位根 ζ におけるベクトル型Eisenstein級数 𝒟₁ の特異化は、合同部分群 Γ₁(𝔮ⁿ) に対するHecke固有形式をもたらし、固有値は 𝔭ᵏ（𝔭 がレベル 𝔮 を割らない場合）である。
• Hecke作用素は無限遠点における正則性を保ち、これらの形式が生成するモジュールを安定化する。
• 重さ k ≡ 1 mod (q−1) の場合、特異化 ev_ζ(𝒟ₜ⁽ⁿ⁻¹⁾[ℰₖ]₁) は、すべての 𝔭(ζ) ≠ 0 を満たす Tₚ の族に対して同時にHecke固有形式であり、固有値は {𝔭ᵏ} である。
• u(𝑧) のA-展開係数は n ≥ 2 で消えるため、古典的モジュラー形式とは異なり、このような係数が固有値を決定するわけではない。
• Hecke固有値は、A-展開に現れるGoss多項式 Gₖ によって完全に決定され、u(𝔭𝑧) の係数は固有値そのものではなく、𝔭 およびレベルに依存する関数である。